Phương trình quy về phương trình hàng đầu bậc hai

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1.

Bạn đang xem: Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai

Giải và biện luận phương trình

ax + b = 0 (1)


Khi a ≠ 0 phương trình (1) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

2. Giải cùng biện luận phương trình bậc hai

a

*
+ bx + c = 0, (a ≠ 0) (2)

3. Định lí Vi-ét.

Nếu phương trình (2) gồm hai nghiệm x1, x2, thì:

Ngược lại, nếu hai số u cùng v có tổng u + v = S với tích uv = p. Thì u và v là nhị nghiệm của phương trình

*
– Sx + p = 0.

4. Phương trình tất cả nghiệm trùng phương a

*
+ b
*
+ c = 0, (a ≠ 0) có thể đưa về phương trình bậc hai bằng cách đặt t =
*
, (t ≥ 0).

5. Có thể khử vệt giá trị hoàn hảo trong phương trình đựng án trong lốt giá trị tuyệt vời và hoàn hảo nhất nhờ áp dụng định nghĩa:

Đặc biệt, so với phương trình |f(x)| = |g(x)|, ta có:

6. Khi giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức bận hai ta thường bình phương hai vế để khử dấu căn thức và mang tới một phương trình hệ quả.

B. BÀI TẬP MẪU

BÀI 1

Giải và biện luận các phương trình sau theo thông số m

Giải

a)

*
(x + 1) – 1 = (2 – m)x

⇔ (

*
+ m – 2)x = 1 –
*

⇔ (m – 1)(m + 2)x = -(m – 1)(m + 1).

Nếu m = 1 thì tất cả mọi số thực x hầu hết là nghiệm của phương trình.

Nếu m = -2 thì phương trình vô nghiệm.

b) Điều khiếu nại của phương trình là x ≠ 2. Khi ấy ta có:

Nghiệm này thỏa mãn điều kiện của phương trình đã mang lại khi còn chỉ khi

hay -2m – 4 ≠ 2m – 4 ⇔ m ≠ 0.

Với m = 2 phương trình (3) biến đổi 0, x = -8, phương trình này vô nghiệm, vì vậy phương trình đã mang lại vô nghiệm.

BÀI 2

Cho phương trình bậc hai

*
+ (2m – 3)x +
*
– 2m = 0

a) xác minh m để phương trình gồm hai nghiệm phân biệt.

b) với mức giá trị như thế nào của m thì phương trình tất cả hai nghiệm với tích của chúng bởi 8? Tìm các nghiệm trong trường đúng theo đó.

Giải

a) Phương trình tất cả hai nghiệm rõ ràng khi biểu thức Δ > 0. Ta có

Vậy khi m

b) Phương trình bao gồm hai nghiệm m ≤ 9/4. Theo định lí Vi-ét ta có:

BÀI 3

Cho phường m

*
+ (
*
– 3)x + m = 0

a) xác định m nhằm phương trình tất cả nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó.

b) với mức giá trị làm sao của m thì phương trình x1, x2 thỏa mãn

Giải

a) Phương trình gồm nghiệm kép m ≠ 0 và Δ = 0. Ta có

Δ =

*
– 4
*
=
*
– 10
*
+ 9.

Phương trình trùng phương

*
– 10
*
+ 9 = 0 gồm bốn nghiệm m = ±1 và m = ±3

Với m = 1 hoặc m = -3 phương trình đã cho gồm nghiệm kép x = 1.

Với m = -1 hoặc m = 3 phương trình sẽ cho tất cả nghiệm kép x = -1.

b) Điều kiện nhằm phương trình gồm hai nghiệm là

m ≠ 0 và Δ =

*
– 10
*
+ 9 ≥ 0

Theo định lí Vi-ét ta có

BÀI 4.

Giải phương trình sau bằng cách bình phương nhì vế:

Hướng dẫn: khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được một phương trình hệ quả. Bởi vì vậy, khi tìm ra các giá trị của ẩn số, ta bắt buộc thử lại xem giá trị đó có vừa lòng phương trình đã đến hay không.

Giải

a) Điều kiện của phương trình là x ≥ 9/4. Ta có.

b) Điều khiếu nại của phương trình là

*
– 7x + 10 ≥ 0

Ta có

Thử lại ta thấy phương trình vẫn cho có một nghiệm x = 1.

Vậy nghiệm của phương trình đã mang đến x = 1.

BÀI 5.

Giải và biện luận những phương trình sau theo thông số m

Giải

a) Ta xét nhì trường hợp

Với x ≥ 3m/4 phương trình đã mang lại trở thành

4x – 3m = 2x + m ⇔ 2x = 4m ⇔ x =2m.

Ta gồm 2m ≥ 3m/4 ⇔ m ≥ 0.

Vậy với m ≥ 0 thì phương trình gồm nghiệm x = 2m.

Với x

-4x + 3m = 2x + m ⇔ 6x = 2m ⇔ x =m/3.

Kết luận: cùng với m > 0 phương trình bao gồm nghiệm x = 2m và x = m/3

Với m = 0 phương trình tất cả nghiệm x = 0

Với m

b) Ta có

Ta thấy

(1) ⇔ x = 2m + 1

(2) ⇔ 5x = -1 ⇔ x = -1/5

Hay nghiệm này trùng nhau lúc 2m + 1 = -1/5 ⇔ 2m = -6/5 ⇔ m = -3/5.

Kết luận. Với m ≠ -3/5 phương trình gồm hai nghiệm phân biệt

x = 2m + 1 với x = -1/5

Với m = -3/5 phương trình có nghiệm kép x = -1/5.

Ghi chú. Vì nhì vế của phương trình là hầu như biểu thức không âm bắt buộc ta cũng hoàn toàn có thể bình phương nhì vế để được một phương trình tương đương.

c) Điều kiện của phương trình x ≠ -1. Khi đó ta có

⇔ (m + 3)x + 2(3m + 1) = <(2m – 1)x + 2>(x + 1)

⇔ (m + 3)x + 2(3m + 1) = (2m – 1)

*
+ (2m + 1)x + 2

⇔ (2m – 1)

*
+ (m – 2)x – 6m = 0 (*)

Với m = 50% phương trình (*) trở thành

Gia trị x = -2 thỏa mãi đk của phương trình sẽ cho.

Với m ≠ một nửa phương trình (*) là một phương trình bậc hai gồm biệt thức

Δ =

*
+ 24m(2m – 1)

= 49

*
– 28m + 4

=

*
 ≥ 0.

Khi m ≠ 2/7 phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

C. BÀI TẬP

3.13. Giải và biện luận theo thông số m các phương trình sau:

⇒ Xem giải đáp tại đây.

3.14. Cho phương trình

(m + 2)

*
+ (2m + 1)x + 2 = 0.

a) khẳng định m để phương trình gồm hai nghiệm trái dấu với tổng nhị nghiệm bởi -3.

b) với giá trị làm sao của m thì phương trình bao gồm nghiệm kép? tìm nghiệm kép đó.

⇒ Xem giải đáp tại đây.

3.15. Cho phương trình

9

*
+ (2m + 1)x + 2 = 0

a) minh chứng rằng với m > 2 phương trình gồm hai nghiệm tách biệt âm.

b) khẳng định m nhằm phương trình có hai nghiệm x1, x2

⇒ Xem giải đáp tại đây.

3.16. Giải phương trình.

⇒ Xem câu trả lời tại đây.

3.17

Giải và biện luận theo tham số m các phương trình sau:

⇒ Xem lời giải tại đây.

Bài tập trắc nghiệm

3.18 Nghiệm của phương trình:

A. X = -2/3 B. X = 1

C. X = 1 cùng x = -2/3 D. X = -1/3

⇒ Xem câu trả lời tại đây.

3.19 Trong những giá trị nào sau đây, quý giá nào là nghiệm của phương trình

|3x – 4| =

*
+ x – 7

A. X = 0 và x = -2 B. X = 0

C. X = 3 D. X = -2

⇒ Xem giải đáp tại đây.

3.20 tìm kiếm nghiệm của phương trình:

A. X = một nửa B. X = 1

C. X = 0 D. Phương trình vô trình.

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.21 Nghiệm của phương trình:

A. X = 0 và x = 1 B. X = 1 với x = 2

C. X = 0 với x = 2 D. X = 0 với x = 1

⇒ Xem lời giải tại đây.

3.22 Nghiệm của phương trình |

*
– 3x – 4| = |4 – 5x| là:

A. X = 0, x = 2, x = 8 với x = – 4

B. X = 0 và x = 4

C. X= – 2 với x = 4

D. X = 1 với x = -4

⇒ Xem câu trả lời tại đây.

3.23 Phương trình

(m + 1)

*
– 3(m – 1)x + 2 = 0

có một nghiệm gấp rất nhiều lần nghiệm kia khi quý hiếm của tham số m là:

A. M = 1 B. M = -1

C. M = 0 hoặc m = 3 D. M = 2

⇒ Xem lời giải tại đây.

3.24.

Xem thêm: Giải Bài 1 Trang 59 Sgk Hình Học 10 : Bài 1 Trang 59 Sgk Hình Học 10

Phương trình 

3

*
+ 5x + 2(m + 1) = 0

Có hai nghiệm âm minh bạch khi thông số m nằm trong khoảng nào sau đây?

A. 0

B. -1

C. -2

D. -1

⇒ Xem lời giải tại đây.

3.25 kiếm tìm m nhằm phương trình

*
+ 2(m + 1)x + 2(m + 6) = 0 gồm hai nghiệm x1, x2 mà x1 + x2 = 4