+ Với

*
là một hằng số làm sao đó, ta luôn có
*
!! ext "=F"(x)" />nên tổng quát hóa ta viết
*
.

Bạn đang xem: Nguyên hàm là gì

khi đó

*
được gọi là 1 trong những họ nguyên hàm của hàm số
*
. Với một giá trị rõ ràng của
*
thì ta được một nguyên hàm của hàm số đang cho.

Ví dụ:

+ Hàm số

*
có nguyên hàm là
*
*
.

+ Hàm số

*
có nguyên hàm là
*
*
.

+ mọi hàm số tiếp tục trên

*
đều tất cả nguyên hàm trên
*
.

2. Các đặc điểm của nguyên hàm

Cho những hàm số

*
*
liên tục cùng tồn tại các nguyên hàm tương ứng
*
*
, lúc ấy ta bao gồm các tính chất sau:

+ tính chất 1:

*
.

+ đặc điểm 2:

*
.

+ tính chất 3:

*
!! ext dx=intf(x)dxpm intg(x)dx}}" />.

+ đặc thù 4:

*
.

3. Bảng nguyên hàm của một vài hàm số thường gặp

B. Bài tập

Dạng 1. áp dụng bảng nguyên hàm để tính nguyên hàm

Ví dụ 1.1:Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a)
*
.
b)
*
.
c)
*
.
d)
*
.
e)
*
.
f)
*
x)dx}}" />.

Lời giải:

a)

*
.

b)

*
.

c)

*
.

d)

*

*
.

e)

*
.

f)

*
x)dx}}=intfrac1sqrtxdx+intsqrt<3>xdx=intx^-frac12dx+intx^frac13dx=2x^frac12+frac34x^frac43+C" />.

Ví dụ 1.2:Tìm một nguyên hàm

*
của hàm số
*
, biết
*
.

Lời giải:

Ta có

*
.

*
là một nguyên hàm của
*
nên gồm dạng
*
.

*
. Do đó
*
.

Ví dụ 1.3:Gọi

*
là một nguyên hàm của
*
thỏa mãn
*
. Tìm
*
để
*
.

Lời giải:

Ta có

*
.

*
là một nguyên hàm của
*
nên có dạng
*
.

Mặt khác

*
. Do đó
*
.

Khi đó

*

*
(thỏa mãn).

Vậy

*
hoặc
*
.

Xem thêm: Bài Tập Tổng Và Hiệu Của Hai Vectơ : Lý Thuyết Và Các Dạng Bài Tập

Ví dụ 1.4:Tất cả những giá trị thực của tham số

*
để hàm số
*
là một nguyên hàm của hàm số
*
.