Hướng dẫn giải bài bác §2. Giới hạn của hàm số, Chương IV. Giới hạn, sách giáo khoa Đại số với Giải tích 11. Nội dung bài xích giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số với Giải tích 11 bao gồm tổng vừa lòng công thức, lý thuyết, phương thức giải bài tập đại số với giải tích có trong SGK sẽ giúp đỡ các em học viên học xuất sắc môn toán lớp 11.

Bạn đang xem: Giải bài tập toán 11 trang 132

Lý thuyết

I. số lượng giới hạn hữu hạn

Cho khoảng chừng (K) đựng điểm (x_0) cùng hàm số (y = f(x)) xác minh trên (K) hoặc bên trên (Kackslash m x_0 m ).

(undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L) khi còn chỉ khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (x_n ∈ Kackslash m x_0 m ) với (x_n ightarrow x_0), ta có

(lim f(x_n) =L).

Cho hàm số (y = f(x)) khẳng định trên khoảng ((x_0; b)).

(undersetx ightarrow x__0^+lim f(x) = L) khi và chỉ còn khi hàng số ((xn) bất kì, (x_0 a), (x_n ightarrow +infty) thì (lim f(x_n) = L).

Cho hàm số (y = f(x)) xác định trên khoảng tầm ((-∞; a)).

(undersetx ightarrow-infty lim f(x) = L) khi và chỉ khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (x_nII. Giới hạn vô cực

Sau đấy là hai trong các nhiều loại giới hạn vô rất khác nhau:

Cho hàm số (y = f(x)) xác định trên khoảng ((a; +∞)), (undersetx ightarrow+infty lim f(x) = -∞) khi và chỉ còn khi với hàng số ((x_n)) bất kì, (x_n> a), (x_n ightarrow +infty) thì ta có (lim f(x_n) = -∞)

Cho khoảng (K) đựng điểm (x_0) và hàm số (y = f(x)) xác minh trên (K) hoặc trên (Kackslash m x_0 m ).

(undersetx ightarrow x__0lim f(x) = +∞) và chỉ khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (x_n ∈Kackslash m x_0 m ) cùng (x_n ightarrow x_0) thì ta có (lim f(x_n) = +∞).

Nhận xét: (f(x)) có giới hạn (+∞ ) khi và chỉ còn khi (-f(x)) có giới hạn (-∞).

III. Những giới hạn quánh biệt

a) (undersetx ightarrow x__0lim x = x_0);

b) (undersetx ightarrow x__0limc = c);

c) (undersetx ightarrow pm infty lim c = c);

d) (undersetx ightarrow pm infty lim) (fraccx = 0) ((c) là hằng số);

e) (undersetx ightarrow+infty lim x^k= +∞), cùng với (k) nguyên dương;

f) (undersetx ightarrow-infty lim x^k= -∞), ví như (k) là số lẻ;

g) (undersetx ightarrow-infty limx^k = +∞) , nếu như (k) là số chẵn.

IV. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1:

a) trường hợp (undersetx ightarrow x__0lim = L) cùng (undersetx ightarrow x__0lim) (g(x) = M) thì:

(undersetx ightarrow x__0lim = L + M);

(undersetx ightarrow x__0lim

(undersetx ightarrow x__0lim = L.M);

(undersetx ightarrow x__0lim) (fracf(x)g(x))= (fracLM) (nếu (M ≠ 0)).

b) nếu (f(x) ≥ 0) và (undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L), thì (L ≥ 0) cùng (undersetx ightarrow x__0limsqrt f(x) = sqrt L)

Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng vào lúc (x_n ightarrow +infty) hoặc (x_n ightarrow -infty).

Định lí 2.

(undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L) khi và chỉ khi (undersetx ightarrow x__0^+lim) f(x) = (undersetx ightarrow x__0^-lim f(x) = L).

V. Quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc giới hạn của tích (f(x).g(x))

*

b) phép tắc tìm số lượng giới hạn của yêu mến (fracf(x)g(x))

*

(Dấu của (g(x)) xét trên một khoảng (K) nào đó sẽ tính giới hạn, cùng với (x ≠ x_0) ).

Dưới đó là phần hướng dẫn vấn đáp các thắc mắc và bài xích tập trong phần hoạt động vui chơi của học sinh sgk Đại số với Giải tích 11.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 123 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Xét hàm số:

(displaystyle f(x) = 2x^2 – 2x over x – 1)

1. Cho trở nên x hầu hết giá trị khác 1 lập thành dãy số xn, xn → 1 như vào bảng sau:

*

Khi đó, những giá trị tương ứng của hàm số f(x1), f(x2),…, f(xn), …

cũng lập thành một hàng số mà lại ta kí hiệu là (f(xn)).

a) minh chứng rằng (fleft( x_n ight) = 2x_n = dfrac2n + 2n)

b) Tìm giới hạn của hàng số (f(xn)).

2. Minh chứng rằng với hàng số bất kỳ xn, xn ≠ 1 với xn → 1, ta luôn luôn có f(xn) → 2.

(Với đặc điểm thể hiện tại trong câu 2, ta nói hàm số (displaystyle f(x) = 2x^2 – 2x over x – 1) có giới hạn là 2 lúc x dần tới 1).

Trả lời:

Ta có:

1. A) (displaystyle f(x_n) = 2x_n^2 – 2x_n over x_n – 1 = 2x_n(x_n – 1) over x_n – 1 ) (= 2x_n)

(displaystyle x_n = n+1 over n ) (displaystyle Rightarrow f(x_n) = 2x_n = 2.n+1 over n = 2n+2 over n)

b) (displaystyle mathop lim limits_n o + infty (f(x_n) – 2) ) (displaystyle = mathop lim limits_n o + infty (2n+2 over n – 2) = mathop lim limits_n o + infty 2 over n)

Ta có: (displaystyle mathop lim limits_n o + infty 2 over n = 0 ) (displaystyle Rightarrow mathop lim limits_n o + infty (f(x_n) – 2) = 0 ) (displaystyle Rightarrow mathop lim limits_n o + infty f(x_n) = 2)

2. (lim f(x_n) = lim,2x_n ) (= 2lim x_n = 2.1 = 2)

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 127 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Trong biểu thức (1) khẳng định hàm số $y = f(x)$ sinh hoạt Ví dụ 4, yêu cầu thay $2$ thông qua số nào để hàm số có giới hạn là $-2$ lúc $x → 1$?

Trả lời:

Để hàm số có số lượng giới hạn bằng ( – 2) trên (x = 1) thì (mathop lim limits_x o 1^ + fleft( x ight) = mathop lim limits_x o 1^ – fleft( x ight) = – 2) tốt (5.1 + c = – 2 Leftrightarrow c = – 7).

Vậy phải thay (2) bởi ( – 7) nhằm hàm số có số lượng giới hạn bằng ( – 2) tại (x = 1).

3. Trả lời thắc mắc 3 trang 127 sgk Đại số và Giải tích 11

Cho hàm số $f(x) = 1 over x – 2$ tất cả đồ thị như sinh sống Hình 52

*

Quan liền kề đồ thị và đến biết:

– Khi trở thành $x$ dần dần tới dương vô cực, thì f(x) dần tới quý hiếm nào.

– Khi thay đổi $x$ dần tới âm vô cực, thì f(x) dần dần tới giá trị nào.

Trả lời:

– Khi biến đổi $x$ dần tới dương vô cực, thì $f(x)$ dần tới quý giá dương vô cực

– Khi biến chuyển $x$ dần dần tới âm vô cực, thì $f(x)$ dần tới quý hiếm âm vô cực

Dưới đó là phần hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số cùng Giải tích 11. Các bạn hãy hiểu kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

welcome-petersburg.com giới thiệu với chúng ta đầy đủ phương pháp giải bài tập đại số cùng giải tích 11 kèm bài bác giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số với Giải tích 11 của bài xích §2. Giới hạn của hàm số vào Chương IV. Giới hạn cho chúng ta tham khảo. Nội dung cụ thể bài giải từng bài bác tập chúng ta xem dưới đây:

*
Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số cùng Giải tích 11

1. Giải bài bác 1 trang 132 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Dùng quan niệm tìm những giới hạn sau:

a) (undersetx ightarrow 4limfracx+13x – 2);

b) (undersetx ightarrow +infty limfrac2-5x^2x^2+3).

Bài giải:

a) Hàm số (f(x) = fracx +13x – 2) xác định trên (mathbb Rackslash left 2 over 3 ight\) với ta có (x = 4 in left( 2 over 3; + infty ight))

Giả sử ((x_n)) là hàng số bất kể và (x_n ∈ left( 2 over 3; + infty ight)); (x_n≠ 4) và (x_n→ 4) lúc (n o + infty ).

Ta tất cả (lim f(x_n) = lim fracx_n +13x_n – 2 = frac4 + 13. 4 – 2 = frac12).

Vậy (undersetx ightarrow 4lim) (fracx +13x – 2) = (frac12).

b) Hàm số (f(x)) = (frac2-5x^2x^2+3) xác minh trên (mathbb R).

Giả sử ((x_n)) là hàng số bất kể và (x_n→ +∞) khi (n o + infty )

Ta có (lim f(x_n) = lim frac2-5x^2_nx^2_n+3= lim fracfrac2x^2_n-51+frac3x^2_n = -5).

Vậy (undersetx ightarrow +infty lim) (frac2-5x^2x^2+3 = -5).

2. Giải bài 2 trang 132 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Cho hàm số

(f(x) = left{ matrix{sqrt x + 1 ext trường hợp xge 0 hfill cr2x ext ví như x 0) với (v_n= -frac1n (x → 0).

3. Giải bài 3 trang 132 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Tính các giới hạn sau:

a) (undersetx ightarrow -3lim) (fracx^2 -1x+1);

b) (undersetx ightarrow -2lim) (frac4-x^2x + 2);

c) (undersetx ightarrow 6lim) (fracsqrtx + 3-3x-6);

d) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac2x-64-x);

e) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac17x^2+1);

f) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac-2x^2+x -13 +x).

Bài giải:

a) (undersetx ightarrow -3lim) (fracx^2 -1x+1) = (frac(-3)^2-1-3 +1 = -4).

b) (undersetx ightarrow -2lim) (frac4-x^2x + 2)

= (undersetx ightarrow -2lim) (frac (2-x)(2+x)x + 2)

= (undersetx ightarrow -2lim (2-x) = 4).

c) (undersetx ightarrow 6lim) (fracsqrtx + 3-3x-6)

= (undersetx ightarrow 6lim) (frac(sqrtx + 3-3)(sqrtx + 3+3 )(x-6) (sqrtx + 3+3 ))

= (undersetx ightarrow 6lim) (fracx +3-9(x-6) (sqrtx + 3+3 ))

= (undersetx ightarrow 6lim) (frac1sqrtx+3+3) = (frac16).

d) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac2x-64-x)

= (undersetx ightarrow +infty lim) (frac2-frac6xfrac4x-1 = -2).

e) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac17x^2+1 = 0)

vì (undersetx ightarrow +infty lim) ((x^2+ 1) =) (undersetx ightarrow +infty lim x^2( 1 + frac1x^2) = +∞).

f) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac-2x^2+x -13 +x)

= (undersetx ightarrow +infty lim) (frac-2+frac1x -frac1x^2frac3x^2 +frac1x = -∞),

vì (frac3x^2+frac1x > 0) với (∀x>0).

4. Giải bài bác 4 trang 132 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Tìm những giới hạn sau:

a) (undersetx ightarrow 2lim) (frac3x -5(x-2)^2);

b) (undersetx ightarrow 1^-lim) (frac2x -7x-1);

c) (undersetx ightarrow 1^+lim) (frac2x -7x-1).

Bài giải:

a) Ta bao gồm (undersetx ightarrow 2lim (x – 2)^2= 0) và ((x – 2)^2> 0) với (∀x ≠ 2) cùng (undersetx ightarrow 2lim (3x – 5) = 3.2 – 5 = 1 > 0).

Do kia (undersetx ightarrow 2lim) (frac3x -5(x-2)^2 = +∞).

b) Ta có (undersetx ightarrow 1^-lim (x – 1)=0) cùng (x – 1 0) cùng với (∀x > 1) và (undersetx ightarrow 1^+lim (2x – 7) = 2.1 – 7 = -5

5. Giải bài bác 5 trang 133 sgk Đại số với Giải tích 11

Cho hàm số (f(x) = fracx+2x^2-9) có đồ thị như bên trên hình 53.

*

a) Quan liền kề đồ thị với nêu dấn xét về quý hiếm hàm số đã mang lại khi (x → -∞), (x → 3^-) với (x → -3^+)

b) Kiểm tra các nhận xét trên bằng phương pháp tính những giới hạn sau:

(undersetx ightarrow -infty lim f(x)) với (f(x)) được xét trên khoảng tầm ((-infty; -3)),

(undersetx ightarrow 3^-lim f(x)) với (f(x)) được xét trên khoảng ((-3,3)),

(undersetx ightarrow -3^+lim f(x)) với (f(x)) được xét trên khoảng tầm ((-3; 3)).

Bài giải:

a) Quan tiếp giáp đồ thị ta thấy:

Khi (x → -∞) thì (f(x) → 0);

Khi (x → 3^-) thì (f(x) → -∞);

Khi (x → -3^+) thì (f(x) → +∞).

b) Ta có:

(undersetx ightarrow -infty lim f(x) = undersetx ightarrow -infty lim) (fracx+2x^2-9) = (undersetx ightarrow -infty lim) (fracfrac1x+frac2x^21-frac9x^2 = 0).

(undersetx ightarrow 3^-lim f(x) = undersetx ightarrow 3^-lim)(fracx+2x^2-9) = (undersetx ightarrow 3^-lim)(fracx+2x+3.frac1x-3 = -∞ ) bởi vì (undersetx ightarrow 3^-lim)(fracx+2x+3) = (frac56 > 0) với (undersetx ightarrow 3^-lim frac1x-3 = -∞).

(undersetx ightarrow -3^+lim f(x) =) (undersetx ightarrow -3^+lim) (fracx+2x^2-9) = (undersetx ightarrow -3^+lim) (fracx+2x-3) . (frac1x+3 = +∞)vì (undersetx ightarrow -3^+lim) (fracx+2x-3) = (frac-1-6) = (frac16 > 0) và (undersetx ightarrow -3^+lim) (frac1x+3 = +∞).

6. Giải bài bác 6 trang 133 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Tính:

(eqalign& a)mathop lim limits_x o + infty (x^4 – x^2 + x – 1) cr& b)mathop lim limits_x o – infty ( – 2x^3 + 3x^2 – 5) cr& c)mathop lim limits_x o – infty (sqrt x^2 – 2x + 5) cr& d)mathop lim limits_x o + infty sqrt x^2 + 1 + x over 5 – 2x cr )

Bài giải:

Ta có:

(eqalignsqrt 1 – 2 over x + 5 over x^2 = + infty cr& d)mathop lim limits_x o + infty sqrt x^2 + 1 + x over 5 – 2x = mathop lim limits_x o + infty xleft( sqrt 1 + 1 over x^2 + 1 ight) over 5 – 2x = mathop lim limits_x o + infty left( sqrt 1 + 1 over x^2 + 1 ight) over 5 over x – 2 = – 1 cr )

7. Giải bài bác 7 trang 133 sgk Đại số và Giải tích 11

Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là (f). Hotline (d) với (d’) theo lần lượt là khoảng cách từ một vật dụng thật (AB) cùng từ hình ảnh (A’B’) của chính nó tới quang trung khu (O) của thấu kính (h.54). Bí quyết thấu kính là (frac1d+frac1d’=frac1f.)

*

a) tra cứu biểu thức xác minh hàm số (d’ = φ(d)).

b) tra cứu (undersetd ightarrow f^+ lim φ(d)), (undersetd ightarrow f^- lim φ(d)) với (undersetd ightarrow +infty lim φ(d)). Giải thích ý nghĩa của các hiệu quả tìm được.

Bài giải:

a) tự hệ thức (frac1d+frac1d’=frac1f.) Suy ra (d’ = φ(d) = fracfdd-f).

b) (undersetd ightarrow f^+ lim φ(d) = undersetd ightarrow f^+ lim) (fracfdd-f= +∞) .

Ý nghĩa: Nếu đồ thật AB tiến dần dần về tiêu điểm F làm sao cho d luôn lớn hơn f thì hình ảnh của nó dần tới dương vô cực.

(undersetd ightarrow f^- limφ(d) =) (undersetd ightarrow f^- lim) (fracfdd-f = -∞).

Ý nghĩa: Nếu vật thật AB tiến dần về tiêu điểm F thế nào cho d luôn nhỏ dại hơn f thì hình ảnh của nó dần dần tới âm vô sực.

(undersetd ightarrow +infty lim φ(d) =) (undersetd ightarrow +infty lim) (fracfdd-f) = (undersetd ightarrow +infty lim) (fracf1-fracfd = f).

Xem thêm: Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Hình Học 10 Hay Nhất, Ngắn Gọn, Please Wait

Ý nghĩa: Nếu trang bị thật AB làm việc xa vô cực so với thấu kính thì ảnh của nó ở ngay trên tiêu diện hình ảnh (mặt phẳng qua tiêu điểm hình ảnh F’ với vuông góc cùng với trục chính).

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc chúng ta làm bài xuất sắc cùng giải bài xích tập sgk toán lớp 11 cùng với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số với Giải tích 11!