Với bài học kinh nghiệm này họ sẽ khám phá về Định lí Ta-lét (Thalès) trong tam giác. Đây là một định lí cực kỳ quan trọng trong công tác toán phổ thông.

Bạn đang xem: Định lý talet trong tam giác


1. Cầm tắt lý thuyết

1.1. Định lí Talet trong tam giác

1.2. Định lí Talet tổng quát

2. Bài bác tập minh hoạ

3. Luyện tập Bài 1 Chương 3 Hình học 8

3.1 Trắc nghiệm vềĐịnh lí Ta-lét trong tam giác

3.2. Bài bác tập SGK vềĐịnh lí Ta-lét trong tam giác

4. Hỏi đáp bài xích 1 Chương 3 Hình học tập 8


a. Định lí thuận

Nếu một đường thẳng giảm hai của một tam giác và song song cùng với cạnh còn sót lại thì nó định ra trên nhị cạnh đó đều đoạn thẳng tương xứng tỉ lệ.

(Delta ABC;,,B"C",//BC, Rightarrow fracAB"AB = fracAC"AC.)

b. Định lí đảo

Nếu một mặt đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên nhị cạnh này đầy đủ đoạn thẳng khớp ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó tuy nhiên song với cạnh sót lại của tam giác.

(Delta ABC;,fracAB"AB = fracAC"AC Rightarrow B"C"https://BC)

Tóm tắt: (Delta ABC;,,B"C"https://BC Leftrightarrow fracAB"AB = fracAC"AC.)

Chú ý: Định lí Talet thuận và hòn đảo đúng đối với tất cả ba trường vừa lòng hình vẽ sau:

c. Hệ quả

Một mặt đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và tuy nhiên song với cạnh còn lại thì nó tạo nên thành một tam giác new có bố cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác vẫn cho.

(Delta ABC;,,B"C"https://BC Rightarrow fracAB"AB = fracB"C"BC = fracC"ACA.)


1.2. Định lí Talet tổng quát


a. Định lí thuận

Nhiều mặt đường thẳng tuy nhiên song định ra trên hai cát tuyến bất cứ những đoạn thẳng tương xứng tỉ lệ.

(a//,,b,,//,,c Rightarrow fracABBC = fracA"B"B"C")

Chú ý: Ta minh chứng dễ dàng định lí này bằng cách kẻ qua A’ một mặt đường thẳng tuy nhiên song cùng với (Delta ), đường này giảm b, c theo trang bị tự tại những điểm B’’ cùng C’’. Thường thấy A’B’’ = AB, B’’C’’ = BC. Sau đó, vận dụng định lí Talet trong tam giác vào tam giác A’C’’C’ nhằm có:

(fracA"B"B"C" = fracA"B""B""C"".)

Từ trên đây suy ra kết luận.

*

b. Định lí đảo

Cho tía đường trực tiếp a, b, c giảm hai cat tuyến (Delta ,,,Delta ") tại các điểm theo sản phẩm tự A, B, C và A’, B’, C’ chấp thuận đẳng thức tỉ lệ:

(fracABBC = fracA"B"B"C")

Và hai trong ba đường trực tiếp a, b, c là tuy vậy song với nhau thì con đường thẳng sót lại cũng tuy nhiên song với hai tuyến phố kia.

(fracABBC = fracA"B"B"C") cùng (a//b Rightarrow a//b//c)

c. Hệ trái (Các con đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng tuy nhiên song)

- nhiều đường trực tiếp đồng phép tắc ra trên hai tuyến phố thẳng song song hầu hết đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

(a//b Rightarrow fracABA"B" = fracBCB"C" = fracACA"C".)

- Ngược lại, nếu các đường trực tiếp định ra trên hai tuyến phố thẳng tuy nhiên song những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì chúng đồng quy tại một điểm.

(fracABA"B" = fracBCB"C" Rightarrow mAA",BB",CC") đồng quy trên O.

Việc chứng tỏ mệnh đề thuận được dựa trực tiếp vào định lí thuận của định lí Talet

Việc minh chứng mệnh đề hòn đảo thường được dựa vào vào phương pháp chứng minh bội phản chứng.

Chú ý:

1. Bạn ta thường áp dụng định lí Talet vào việc chứng tỏ các hệ thức dạng.

(eginarraylfracab = fraccd\a.d = b.c\a^2 = b.cendarray)

Nhất là khi trong giả thiết mang đến ta các đường thẳng tuy nhiên song.

2. Định lí hòn đảo của định lí Talet mang đến ta một cách minh chứng hai con đường thẳng tuy vậy song.

3. Hệ trái của định lí Talet tổng quá mang đến ta cách chứng tỏ các đường thẳng đồng quy.

Ví dụ 1: mang đến tam giác ABC. Bên trên cạnh AC ta rước hai điểm D, E làm thế nào để cho AD = DE = EC. Trung tuyến AM giảm BD tại p và trung con đường CN giảm BE trên Q.

1. Chứng minh điểm Q là trung điểm của trung tuyến đường CN.

2. Chứng minh PQ // AC.

3. Suy ra (PQ = frac12MN) cùng (PQ = frac34DE.)

Giải

*

1. Nối AD. Vị N là trung điểm của AB, D là trung điểm của AE phải ND // BE xuất xắc QE // ND.

QE // ND nhưng mà E là trung điểm của CD buộc phải suy ra Q là trung điểm của CN.

2. Lí luận như trên, ta minh chứng được p. Là trung điểm của AM.

Gọi G là trung tâm của tam giác ABC. Như vậy

(AG = frac23AM,,,AP = frac12AM)

Cho ta (GP = AG - AP = frac23AM - frac12AM = frac16AM)

( Rightarrow fracGPGA = frac16AM:frac23AM = frac14)

Chứng minh tương tự, ta có:

(fracGQGC = frac14) giỏi (fracGPGA = fracGQGC Rightarrow PQ//AC.)

3. PQ // AC mà MN // AC suy ra PQ // MN,

Cho ta (fracPQMN = fracGPGM = frac16AM:frac13AM Rightarrow fracPQMN = frac12)

( Rightarrow PQ = frac12MN)

(PQ = frac12MN) nhưng (MN = frac12AC Rightarrow PQ = frac14AC)

Vì (PQ = frac14AC) cùng (DE = frac13AC Rightarrow fracPQDE = frac34)

( Rightarrow PQ = frac34DE.)

Ví dụ 2: mang lại tứ giác lồi ABCD. Đường trực tiếp qua B và song song với CD giảm AC tại F bà mặt đường thẳng qua C tuy vậy song cùng với AB giảm BD trên E. Chứng minh EF // AD.

Giải

*

Gọi O là giao điểm của nhị đường chéo AC với BD

Áp dụng định lí Talet thuận vào tam giác AOB.

(eginarraylEC//AB Rightarrow fracOCOA = fracOEOB\ Rightarrow OC.OB = OA.OE,,,,,,,,,,,,,,,,,,(1)endarray)

Áp dụng định lí Talet thuận vào tam giác COD:

(eginarraylFB//DC Rightarrow fracOC mOF = fracODOB\ Rightarrow OC.OB = OD. mOF,,,,,,,,,,,,,,,,, m(2)endarray)

Từ (1) và (2) suy ra: (OA.OE = OD. mOF Rightarrow fracOAOF = fracODOE) (3)

Từ đẳng thức (3) theo định lí Talet đảo, ta bao gồm ngay EF // AD.

Ví dụ 3: Cho góc nhọn xOy. Trên cạnh Ox lấy hai điểm D, E. Một đường thẳng (d_1) qua D cắt cạnh Oy trên điểm F, mặt đường thẳng (d_2) trải qua E và tuy vậy song cùng với (d_1), cắt cạnh Oy trên điểm G. Đường thẳng (d_3)qua G và tuy nhiên song cùng với EF, giảm cạnh Ox trên điểm H. Chứng minh hệ thức: (OE^2 = OD.OH.)

Giải

*

Áp dụng định lí Talet thuận vào tam giác OEG:

(FD,,//,,EG Rightarrow fracODOE = frac mOFOG,,,,(1))

Với tam giác OGH, ta có:

(GH//FE Rightarrow fracOFOG = fracOEOH,,,,(2))

Từ (1) và (2) suy ra: (fracOEOH = fracODOE Rightarrow OE^2 = OD.OH)


Bài 1:Cho hình thang ABCD, đáy bự AB. Từ đỉnh C, kẻ đường thẳng song song cùng với AD, con đường này giảm BD tại phường và giảm AB trên E. Qua D, kẻ đường thẳng song song với BC, con đường này giảm AC tại N và giảm AB tại F. Đường trực tiếp qua E tuy vậy song cùng với AC cắt BC tại Q và mặt đường thẳng qua F song song với BD giảm AD trên M.

1. Chứng tỏ bốn điểm M, N, P, Q nằm trong một mặt đường thẳng song song với nhì đáy.

2. Chứng minh MN = PQ

3. Cho AB = a, DC = b. Chứng tỏ rằng những điểm M, N, P, Q theo sản phẩm tự chia những đoạn thẳng AD, AC, BD, BC theo cùng một tỉ số k. Tính k theo a, b.

Giải

*

1. Ta có:

(MF//DB Rightarrow fracAMDM = frac mAFFB)

Mà FB = DC đề xuất (fracAMDM = frac mAFDC,,,,(1))

(DC m // m AF Rightarrow fracAFDC = fracANNC,,,,(2))

Từ (1) cùng (2) suy ra (fracAMDM = fracANNC)

( Rightarrow MN,,,//DC,,,,,,,,,,,(3))

Tương tự, ta có: PQ // DC (4)

(MN//,,DC Rightarrow MN//,,AF Rightarrow fracAMMD = fracFNND.)

Dễ thấy (fracFNND = fracBQQC)

Vậy (fracAMMD = fracBQQC Rightarrow MQ//DC)

Từ (3), (4), (5) theo title Ơclit, ta suy ra tứ điểm M, N, P, Q ở trên cùng một đường thẳng tuy vậy song cùng với DC.

2. Ta có: (fracMNDC = fracAMAD;,,fracPQDC = fracBQBC,, Rightarrow fracMNDC = fracPQDC Rightarrow MN = PQ.)

3. Thường thấy (fracMAMD = fracNANC = fracPBPD = fracQBQC = frac mAFDC = fraca - bb.)

Bài 2:Cho hình thang ABCD đáy phệ CD; O là giao điểm của hai tuyến phố chéo. Đường thẳng qua A tuy nhiên song với BC cắt BD ở E và mặt đường thẳng qua B tuy vậy song cùng với AD giảm đường thẳng AC trên F.

1. Chứng minh EF // AB.

2. Minh chứng hệ thức (AB^2 m = EF m.CD)

3. Hotline (S_1,S_2,S_3,S_4) theo máy tự là diện tích các tam giác OAB, OCD, OAD và OBC. Minh chứng hệ thức: (S_1.S_2 = S_3.S_4.)

Giải

*

1. Ta có

(eginarraylAE//BC Rightarrow fracOEOB = fracOAOC,,,(1)\BF//AD Rightarrow fracOFOA = fracOBOD,,,(2)\AB//DC Rightarrow fracOAOC = fracOBOD,,,(3)endarray)

Từ (1), (2) cùng (3) suy ra (fracOEOB = fracOFOA Rightarrow mEF//BC.)

2. Hay thấy AB = MC = DN

(AM//BC Rightarrow fracCDMC = fracDBEB)

Vì MC = AB bắt buộc từ đây, ta bao gồm (fracCDAB = fracDBEB) (4)

( mEF//DC Rightarrow fracDNEF = fracDBEB)

Vì dn = AB đề xuất từ đây, ta có (fracABEF = fracDBEB,,,,(5))

Từ (4) và (5) suy ra (fracABEF = fracCDAB Rightarrow AB^2 m = EF m.CD)

3. Ta có

(eginarraylfracS_OABS_OBC = fracOAOC;fracS_OADS_OCD = fracOAOC Rightarrow fracS_OABS_OBC = fracS_OADS_OCD\ Rightarrow S_1.S_2 = S_3.S_4endarray)

Bài 3:Cho tam giác ABC. Kẻ trung đường AM. Lấy một điểm D bất cứ trên đoạn trực tiếp AM, J là giao điểm của BD cùng AC; I là giao điểm của CD với AB. Minh chứng IJ // BC.

Xem thêm: Tìm Hiểu Về Sân Khấu Kịch Kabuki Là Gì, Tại Sao Không Dành Cho Nữ Giới

Giải

*

Từ M kẻ mặt đường thẳng song song với DC giảm AB ở phường và kẻ con đường thẳng tuy nhiên song với DB cắt AC sinh hoạt Q. Dễ dàng thấy.

IP = PB; JQ = QC

Ta tất cả (MP//CI Rightarrow fracAIAP = fracADAM)

(MQ//BJ Rightarrow frac mAJAQ = fracADAM)

Suy ra (fracAIAP = frac mAJAQ Rightarrow mIJ//PQ,,,(1))

Ta lại sở hữu MP // CI ( Rightarrow fracMAMD = fracPAPI) mà PI = PB