Trong nội dung bài viết này, cửa hàng chúng tôi sẽ chia sẻ tới chúng ta lý thuyết về bất đẳng thức Cosi và các dạng bài tập bất đẳng thức Cosi thường chạm chán từ cơ bản đến cải thiện trong các đề thi trung học rộng rãi và đại học.

Bạn đang xem: Các bài toán bất đẳng thức


Bất đẳng thức cosi

Trong nghành toán học, bất đẳng thức cosi là khái niệm dùng để làm chỉ bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cùng và vừa phải nhân của n số thực không âm. Giả sử a1 ,a2,…, an là các số thực bất kể và b1, b2,…, bn là những số thực dương. Khi đó, ta luôn có:

*


Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

*

Bất đẳng thức cosi đến 2 số không âm

*

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b

Bất đẳng thức cosi cho 3 số không âm

*

Dấu bằng xảy ra khi còn chỉ khi a = b = c

Bất đẳng thức cosi mang lại 4 số không âm

*

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d

Bất đẳng thức cosi cho n số không âm

Với x1, x2,…, xn là n số thực không âm, lúc ấy ta có

*

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x1 = x2 =… = xn

Dạng tổng quát của bất đẳng thức cosi

Cho x1,x2,..,xn là những số thực dương ta có:

*

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x1 = x2 =… = xn

Cho x1,x2,..,xn là những số thực âm ta có:

*

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x1 = x2 =… = xn

Các bất đẳng thức cosi đặc biệt

*

Hệ trái của bất đẳng thức Cosi

*

Tham khảo:

Bài tập về bất đẳng thức cosi

Dạng 1: vận dụng trực tiếp BĐT côsi

Ví dụ1: mang đến a, b là số dương thỏa mãn a2 + b2 = 2.

Xem thêm: Lý Thuyết Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Lớp 10, Giải Toán 10 Bài 2: Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ

Chứng minh rằng (a+b)5 ≥ 16ab √(1+a2)(1+b2)

Lời giải:

Ta có (a+b)5 = (a2 + 2ab + b2 )(a3 + 3ab2 + 3a2b + b3)

Áp dụng BĐT cosi ta có:

a2 + 2ab + b2 ≥ 2√2ab(a2 + b2) = 4√ab

(a3 + 3ab2 ) (3a2b+b3) ≥ 2√(a3 + 3ab2 ) (3a2b+b3) = 4√ab (1 + b2)(a2 + 1)

=> (a2 + 2ab + b2 )(a3 + 3ab2 + 3a2b + b3) ≥ 16ab√(a2 + 1)( b2 +1)

=> do đó (a + b)5 ≥ 16ab√(a2 + 1)( b2 +1) điều cần chứng minh

Đẳng thức xẩy ra khi còn chỉ khi a = b = 1

Ví dụ 2: mang đến 2 số ko âm a, b. CHứn minh (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab

Lời giải

Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số thực ko âm ta có:

*

=> (1 + b)(1 + ab) ≥ 2√ab.2√ab = 4ab DPCM

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = 1

Dạng 2: kinh nghiệm tách, thêm bớt, ghép cặp

Phương pháp:

Để chứng minh BĐT ta thường xuyên phải biến đổi (nhân chia, thêm, bớt một biểu thức) để sản xuất biểu thức hoàn toàn có thể giản ước được sau khi áp dụng BĐT côsi.Khi chạm chán BĐT gồm dạng x + y + z ≥ a + b + c (hoặc xyz ≥ abc), ta hay đi chứng tỏ x + y ≥ 2a (hoặc ab ≤ x2), xây dựng các BĐT tương tự như rồi cộng(hoặc nhân) vế cùng với vế ta suy ra điều bắt buộc chứng minh.Khi tách bóc và vận dụng BĐT côsi ta nhờ vào việc bảo đảm dấu bằng xảy ra(thường lốt bằng xẩy ra khi những biến cân nhau hoặc tại biên).

Ví dụ 1: cho a, b, c là số dương thỏa mãn a + b + c = 3.

Chứng minh rằng 8( a + b )(b + c)(c + a) ≤ (3 + a)(3 + b)(3 + c)

Lời giải

*

Sau khi đọc xong nội dung bài viết của chúng tôi các chúng ta có thể nắm được lý thuyết về bất đẳng thức cosi và các dạng bài bác tập bất đẳng thức cosi nhé