Mời các bạn học sinh cùng xem thêm tài liệu dưới đây với 226 bài bác tập Lượng giác lớp 10 có lời giải nhằm mục tiêu giúp những em học sinh tự học, tự ôn thi hiệu quả, chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi chuẩn bị tới. Đồng thời đó cũng là tài liệu tìm hiểu thêm hữu ích giành riêng cho các thầy giáo viên trong việc biên biên soạn đề thi với giáo án. Mời chúng ta cùng tham khảo.




Bạn đang xem: Các bài tập lượng giác lớp 10

*

MATHVN.COM CHÖÔNG 1: COÂNG THÖÙC LÖÔÏNG GIAÙCI. Ñònh nghóa Treân maët phaúng Oxy đến ñöôøng troøn löôïng giaùc taâm O baùn kính R=1 vaø ñieåm M treân ñöôøng troøn löôïng giaùc maø sñ AM = β vôùi 0 ≤ β ≤ 2π Ñaët α = β + k2π,k ∈ Z Ta ñònh nghóa: sin α = OK cos α = OH sin α tgα = vôùi cos α ≠ 0 cos α cos α cot gα = vôùi sin α ≠ 0 sin αII. Baûng giaù trò löôïng giaùc cuûa moät soá cung (hay goùc) ñaëc bieät Goùc α ( ) 0 0o π ( ) 30o π ( ) 45o π ( ) 60o π ( ) 90oGiaù trò 6 4 3 2sin α 0 1 2 3 1 2 2 2cos α 1 3 2 1 0 2 2 2tgα 0 3 1 3 || 3cot gα || 3 1 3 0 3III. Heä thöùc cô baûn sin 2 α + cos2 α = 1 1 π 1 + tg2α = vôùi α ≠ + kπ ( k ∈ Z ) cos α 2 2 1 t + cot g2 = vôùi α ≠ kπ ( k ∈ Z ) sin 2 αIV. Cung lieân keát (Caùch nhôù: cos ñoái, sin buø, tang không đúng π ; phuï cheùo) a. Ñoái nhau: α vaø −α sin ( −α ) = − sin α cos ( −α ) = cos α tg ( −α ) = −tg ( α ) cot g ( −α ) = − cot g ( α ) www.MATHVN.com MATHVN.COMb. Buø nhau: α vaø π − αsin ( π − α ) = sin αcos ( π − α ) = − cos αtg ( π − α ) = − tgαcot g ( π − α ) = − cot gαc. Không nên nhau π : α vaø π + αsin ( π + α ) = − sin αcos ( π + α ) = −cosαtg ( π + α ) = t gαcot g ( π + α ) = cot gα πd. Phuï nhau: α vaø −α 2 ⎛π ⎞sin ⎜ − α ⎟ = cos α ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞cos ⎜ − α ⎟ = sin α ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞tg ⎜ − α ⎟ = cot gα ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞cot g ⎜ − α ⎟ = tgα ⎝2 ⎠ π πe.Sai nhau : α vaø + α 2 2 ⎛π ⎞sin ⎜ + α ⎟ = cos α ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞cos ⎜ + α ⎟ = − sin α ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞tg ⎜ + α ⎟ = − cot gα ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞cot g ⎜ + α ⎟ = − tgα ⎝2 ⎠ www.MATHVN.com MATHVN.COM f. Sin ( x + kπ ) = ( −1) sin x, k ∈ Z k cos ( x + kπ ) = ( −1) cos x, k ∈ Z k tg ( x + kπ ) = tgx, k ∈ Z cot g ( x + kπ ) = cot gxV. Coâng thöùc coäng sin ( a ± b ) = sin a cos b ± sin b cosa cos ( a ± b ) = cosa cos b ∓ sin asin b tga ± tgb tg ( a ± b ) = 1 ∓ tgatgbVI. Coâng thöùc nhaân ñoâi sin 2a = 2sin a cosa cos2a = cos2 a − sin 2 a = 1 − 2sin 2 a = 2 cos2 a − 1 2tga tg2a = 1 − tg2a cot g2a − 1 cot g2a = 2 cot gaVII. Coâng thöùc nhaân ba: sin3a = 3sin a − 4sin3 a cos3a = 4 cos3 a − 3cosaVIII. Coâng thöùc haï baäc: 1 sin 2 a = (1 − cos2a ) 2 1 cos2 a = (1 + cos2a ) 2 1 − cos2a tg2a = 1 + cos2aIX. Coâng thöùc phân tách ñoâi a Ñaët t = tg (vôùi a ≠ π + k2 π ) 2 www.MATHVN.com MATHVN.COM 2t sin a = 1 + t2 1 − t2 cosa = 1 + t2 2t tga = 1 − t2X. Coâng thöùc bieán ñoåi toång thaønh tích a+b a−b cosa + cos b = 2 cos cos 2 2 a+b a−b cosa − cos b = −2sin sin 2 2 a+b a−b sin a + sin b = 2 cos sin 2 2 a+ b a−b sin a − sin b = 2 cos sin 2 2 sin ( a ± b ) tga ± tgb = cosa cos b sin ( b ± a ) cot ga ± cot gb = sin a.sin bXI. Coâng thöùc bieån ñoåi tích thaønh toång 1 cosa.cos b = ⎡ cos ( a + b ) + cos ( a − b ) ⎤⎦ 2⎣ −1 sin a.sin b = ⎡ cos ( a + b ) − cos ( a − b ) ⎤⎦ 2 ⎣ 1 sin a.cos b = ⎡⎣sin ( a + b ) + sin ( a − b ) ⎤⎦ 2 sin 4 a + cos4 a − 1 2Baøi 1: Chöùng minh = sin 6 a + cos6 a − 1 3 Ta coù: sin 4 a + cos4 a − 1 = ( sin 2 a + cos2 a ) − 2sin 2 a cos2 a − 1 = −2sin 2 a cos2 a 2 Vaø: sin 6 a + cos6 a − 1 = ( sin 2 a + cos2 a )( sin 4 a − sin 2 a cos2 a + cos4 a ) − 1 = sin 4 a + cos4 a − sin 2 a cos2 a − 1 = (1 − 2sin 2 a cos2 a ) − sin 2 a cos2 a − 1 = −3sin 2 a cos2 a www.MATHVN.com MATHVN.COM sin 4 a + cos4 a − 1 −2sin 2 a cos2 a 2 vày ñoù: = = sin 6 a + cos6 a − 1 −3sin 2 a cos2 a 3 1 + cos x ⎡ (1 − cos x ) ⎤ 2Baøi 2: Ruùt goïn bieåu thöùc A = = ⎢1 + ⎥ sin x ⎢⎣ sin 2 x ⎥⎦ 1 πTính giaù trò A neáu cos x = − vaø 0 2 3 Vaäy sin x = 2 2 4 4 3 bởi vì ñoù A = = = sin x 3 3Baøi 3: Chöùng minh caùc bieåu thöùc sau ñaây khoâng phuï thuoäc x: a. A = 2 cos4 x − sin 4 x + sin2 x cos2 x + 3sin 2 x 2 cot gx + 1 b. B = + tgx − 1 cot gx − 1 a. Ta coù: A = 2 cos4 x − sin 4 x + sin2 x cos2 x + 3sin2 x ⇔ A = 2 cos4 x − (1 − cos2 x ) + (1 − cos2 x ) cos2 x + 3 (1 − cos2 x ) 2 ⇔ A = 2 cos4 x − (1 − 2 cos2 x + cos4 x ) + cos2 x − cos4 x + 3 − 3cos2 x ⇔ A = 2 (khoâng phuï thuoäc x) b. Vôùi ñieàu kieän sin x.cosx ≠ 0,tgx ≠ 1 2 cot gx + 1 Ta coù: B = + tgx − 1 cot gx − 1 www.MATHVN.com MATHVN.COM 1 +1 2 tgx 2 1 + tgx ⇔ B= + = + tgx − 1 1 − 1 tgx − 1 1 − tgx tgx 2 − (1 − tgx ) 1 − tgx ⇔ B= = = −1 (khoâng phuï thuoäc vaøo x) tgx − 1 tgx − 1Baøi 4: Chöùng minh 1 + cosa ⎡ (1 − cosa ) ⎤ cos2 b − sin 2 c 2 ⎢1 − 2 ⎥+ 2 2 − cot g2 b cot g2 c = cot ga − 1 2sin a ⎢ sin a ⎥ sin bsin c ⎣ ⎦ Ta coù: cos2 b − sin 2 c * − cot g2 b.cot g2 c sin b.sin c 2 2 cotg2 b 1 = − 2 − cot g2 b cot g2 c sin c sin b 2 ( ) ( ) = cot g2 b 1 + cot g2 c − 1 + cot g2 b − cot g 2 b cot g2 c = −1 (1) 1 + cosa ⎡ (1 − cosa ) ⎤ 2 * ⎢1 − ⎥ 2sin a ⎢ sin 2 a ⎥ ⎣ ⎦ 1 + cosa ⎡ (1 − cosa ) ⎤ 2 = ⎢1 − ⎥ 2sin a ⎢ 1 − cos2 a ⎥ ⎣ ⎦ 1 + cosa ⎡ 1 − cosa ⎤ = 1− 2sin a ⎢⎣ 1 + cosa ⎥⎦ 1 + cosa 2 cosa = . = cot ga (2) 2sin a 1 + cosa Laáy (1) + (2) ta ñöôïc ñieàu phaûi chöùng minh xong.Baøi 5: mang lại ΔABC tuøy yù vôùi ba goùc ñeàu laø nhoïn. Search giaù trò nhoû nhaát cuûa p = tgA.tgB.tgC Ta coù: A + B = π − C Neân: tg ( A + B) = − tgC tgA + tgB ⇔ = − tgC 1 − tgA.tgB ⇔ tgA + tgB = −tgC + tgA.tgB.tgC Vaäy: p = tgA.tgB.tgC = tgA + tgB + tgC www.MATHVN.com MATHVN.COM AÙp duïng baát ñaúng thöùc Cauchy cho ba soá döông tgA,tgB,tgC ta ñöôïc tgA + tgB + tgC ≥ 3 3 tgA.tgB.tgC ⇔ phường ≥ 33 phường ⇔ 3 P2 ≥ 3 ⇔P≥3 3 ⎧ tgA = tgB = tgC ⎪ π Daáu “=” xaûy ra ⇔ ⎨ π ⇔ A = B=C= ⎪⎩ 0 y " = − (1 − t ) + 4t 3 2 Ta coù : y " = 0 Ù (1 − t ) = 8t 3 3 ⇔ 1 − t = 2t 1 ⇔t= 3 1 ⎛1⎞ Ta coù y(1) = 1; y(-1) = 3; y ⎜ ⎟ = 27 ⎝ 3⎠ 1 vày ñoù : Max y = 3 vaø Miny = x∈ x∈ 27 b/ bởi vì ñieàu kieän : sin x ≥ 0 vaø cos x ≥ 0 neân mieàn xaùc ñònh ⎡ π ⎤ D = ⎢ k2π, + k2π ⎥ vôùi k ∈ ⎣ 2 ⎦ Ñaët t = cos x vôùi 0 ≤ t ≤ 1 thì t = cos x = 1 − sin x 4 2 2 Neân sin x = 1 − t4 Vaäy y = 1 − t − t treân D " = < 0,1> 8 4 −t 3 Thì y " = − 1 MATHVN.COMBaøi 7: đến haøm soá y = sin4 x + cos4 x − 2m sin x cos xTìm giaù trò m ñeå y xaùc ñònh vôùi moïi x Xeùt f (x) = sin 4 x + cos4 x − 2m sin x cos x f ( x ) = ( sin 2 x + cos2 x ) − m sin 2x − 2 sin 2 x cos2 x 2 1 f ( x) = 1 − sin2 2x − m sin 2x 2 Ñaët : t = sin 2x vôùi t ∈ < −1, 1> y xaùc ñònh ∀x ⇔ f ( x ) ≥ 0∀x ∈ R 1 2 ⇔ 1− t − mt ≥ 0 ∀t ∈ < −1,1> 2 ⇔ g ( t ) = t 2 + 2mt − 2 ≤ 0 ∀t ∈ < −1,1> vì chưng Δ " = mét vuông + 2 > 0 ∀m neân g(t) coù 2 nghieäm phaân bieät t1, t2 Luùc ñoù t t1 t2 g(t) + 0 - 0 vày ñoù : yeâu caàu baøi toaùn ⇔ t1 ≤ −1 MATHVN.COM Maët khaùc : sin 4 α + cos4 α = ( sin 2 α + cos2 α ) − 2 sin 2 α cos2 α 2 = 1 − 2sin2 α cos2 α 1 = 1 − sin2 2α 2 π 7π 3π 5π vày ñoù : A = sin4 + sin4 + sin4 + sin4 16 16 16 16 ⎛ π π ⎞ ⎛ 4 3π 3π ⎞ = ⎜ sin 4 + cos4 ⎟ + ⎜ sin + cos4 ⎟ ⎝ 16 16 ⎠ ⎝ 16 16 ⎠ ⎛ 1 π⎞ ⎛ 1 3π ⎞ = ⎜ 1 − sin 2 ⎟ + ⎜ 1 − sin 2 ⎟ ⎝ 2 8⎠ ⎝ 2 8 ⎠ 1⎛ π 3π ⎞ = 2 − ⎜ sin 2 + sin 2 ⎟ 2⎝ 8 8 ⎠ 1⎛ π π⎞ ⎛ 3π π⎞ = 2 − ⎜ sin 2 + cos2 ⎟ ⎜ vì chưng sin = cos ⎟ 2⎝ 8 8⎠ ⎝ 8 8⎠ 1 3 = 2− = 2 2Baøi 9 : Chöùng minh : 16 sin 10o .sin 30o .sin 50o .sin 70o = 1 A cos 10o 1 Ta coù : A = = (16sin10ocos10o)sin30o.sin50o.sin70o cos 10 o cos 10 o 1 ⎛1⎞ o ( ⇔ A= 8 sin 20o ) ⎜ ⎟ cos 40o . Cos 20o cos 10 ⎝2⎠ 1 o ( ⇔ A= 4 sin 200 cos 20o ) . Cos 40o cos10 1 o ( ⇔ A= 2 sin 40o ) cos 40o cos10 1 cos 10o ⇔ A= sin 80 o = =1 cos10o cos 10o A B B C C ABaøi 10 : cho ΔABC . Chöùng minh : tg tg + tg tg + tg tg = 1 2 2 2 2 2 2 A+B π C Ta coù : = − 2 2 2 A+B C Vaäy : tg = cot g 2 2 A B tg + tg ⇔ 2 2 = 1 A B C 1 − tg .tg tg 2 2 2 ⎡ A B ⎤ C A B ⇔ ⎢ tg + tg ⎥ tg = 1 − tg tg ⎣ 2 2⎦ 2 2 2 www.MATHVN.com MATHVN.COM A C B C A B ⇔ tg tg + tg tg + tg tg = 1 2 2 2 2 2 2 π π π πBaøi 11 : Chöùng minh : 8 + 4tg + 2tg + tg = cot g ( *) 8 16 32 32 π π π π Ta coù : (*) ⇔ 8 = cot g − tg − 2tg − 4tg 32 32 16 8 cos a sin a cos a − sin a 2 2 Maø : cot ga − tga = − = sin a cos a sin a cos a cos 2a = = 2 cot g2a 1 sin 2a 2 vì chưng ñoù : ⎡ π π⎤ π π (*) ⇔ ⎢ cot g − tg ⎥ − 2tg − 4tg = 8 ⎣ 32 32 ⎦ 16 8 ⎡ π π⎤ π ⇔ ⎢ 2 cot g − 2tg ⎥ − 4tg = 8 ⎣ 16 16 ⎦ 8 π π ⇔ 4 cot g − 4tg = 8 8 8 π ⇔ 8 cot g = 8 (hieån nhieân ñuùng) 4Baøi :12 : Chöùng minh : ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ 3 a/ cos2 x + cos2 ⎜ + x ⎟ + cos2 ⎜ − x⎟ = ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 2 1 1 1 1 b/ + + + = cot gx − cot g16x sin 2x sin 4x sin 8x sin16x ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ a/ Ta coù : cos2 x + cos2 ⎜ + x ⎟ + cos2 ⎜ − x⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 1 1⎡ ⎛ 4π ⎞ ⎤ 1 ⎡ ⎛ 4π ⎞⎤ = (1 + cos 2x ) + ⎢1 + cos ⎜ 2x + ⎟ ⎥ + ⎢1 + cos ⎜ − 2x ⎟ ⎥ 2 2⎣ ⎝ 3 ⎠⎦ 2 ⎣ ⎝ 3 ⎠⎦ 3 1⎡ ⎛ 4π ⎞ ⎛ 4π ⎞⎤ = + ⎢ cos 2x + cos ⎜ 2x + ⎟ + cos ⎜ − 2x ⎟ ⎥ 2 2⎣ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎦ 3 1⎡ 4π ⎤ = + ⎢ cos 2x + 2 cos 2x cos ⎥ 2 2⎣ 3⎦ 3 1⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ = + ⎢ cos 2x + 2 cos 2x ⎜ − ⎟ ⎥ 2 2⎣ ⎝ 2 ⎠⎦ 3 = 2 cos a cos b sin b cos a − sin a cos b b/ Ta coù : cot ga − cot gb = − = sin a sin b sin a sin b www.MATHVN.com MATHVN.COM sin ( b − a ) = sin a sin b sin ( 2x − x ) 1 do ñoù : cot gx − cot g2x = = (1 ) sin x sin 2x sin 2x sin ( 4x − 2x ) 1 cot g2x − cot g4x = = ( 2) sin 2x sin 4x sin 4x sin ( 8x − 4x ) 1 cot g4x − cot g8x = = ( 3) sin 4x sin 8x sin 8x sin (16x − 8x ) 1 cot g8x − cot g16x = = (4) sin16x sin 8x sin16x Laáy (1) + (2) + (3) + (4) ta ñöôïc 1 1 1 1 cot gx − cot g16x = + + + sin 2x sin 4x sin 8x sin16xBaøi 13 : Chöùng minh : 8sin3 180 + 8sin2 180 = 1 Ta coù: sin180 = cos720 ⇔ sin180 = 2cos2360 - 1 ⇔ sin180 = 2(1 – 2sin2180)2 – 1 ⇔ sin180 = 2(1 – 4sin2180+4sin4180)-1 ⇔ 8sin4180 – 8sin2180 – sin180 + 1 = 0 (1 ) ⇔ (sin180 – 1)(8sin3180 + 8sin2180 – 1) = 0 ⇔ 8sin3180 + 8sin2180 – 1 = 0 (do 0 MATHVN.COM 1 = ( sin4 x + cos4 x ) − sin2 2x 4 ⎛3 1 ⎞ 1 = ⎜ + cos 4x ⎟ − (1 − cos 4x ) ( vì keát quaû caâu a ) ⎝4 4 ⎠ 8 3 5 = cos 4x + 8 8 c/ Ta coù : sin 8 x + cos8 x = ( sin 4 x + cos4 x ) − 2 sin 4 x cos4 x 2 1 2 ( 3 + cos 4x ) − sin4 2x 2 = 16 16 2 1 1 ⎡1 ⎤ = 16 ( 9 + 6 cos 4x + cos 4x ) − 8 ⎢⎣ 2 (1 − cos 4x )⎥⎦ 2 9 3 1 1 = + cos 4x + (1 + cos 8x ) − (1 − 2 cos 4x + cos2 4x ) 16 8 32 32 9 3 1 1 1 = + cos 4x + cos 8x + cos 4x − (1 + cos 8x ) 16 8 32 16 64 35 7 1 = + cos 4x + cos 8x 64 16 64Baøi 15 : Chöùng minh : sin 3x.sin3 x + cos 3x.cos3 x = cos3 2x Caùch 1: Ta coù : sin 3x.sin3 x + cos 3x.cos3 x = cos3 2x = ( 3sin x − 4 sin 3 x ) sin 3 x + ( 4 cos3 x − 3 cos x ) cos3 x = 3sin4 x − 4 sin6 x + 4 cos6 x − 3cos4 x = 3 ( sin 4 x − cos4 x ) − 4 ( sin 6 x − cos6 x ) = 3 ( sin 2 x − cos2 x )( sin 2 x + cos2 x ) −4 ( sin 2 x − cos2 x )( sin 4 x + sin 2 x cos2 x + cos4 x ) = −3 cos 2x + 4 cos 2x ⎡⎣1 − sin 2 x cos2 x ⎤⎦ ⎛ 1 ⎞ = −3 cos 2x + 4 cos 2x ⎜ 1 − sin 2 2x ⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ = cos 2x ⎢ −3 + 4 ⎜ 1 − sin 2 2x ⎟ ⎥ ⎣ ⎝ 4 ⎠⎦ = cos 2x (1 − sin 2 2x ) = cos3 2x Caùch 2 : Ta coù : sin 3x.sin3 x + cos 3x.cos3 x ⎛ 3sin x − sin 3x ⎞ ⎛ 3 cos x + cos 3x ⎞ = sin 3x ⎜ ⎟ + cos 3x ⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 3 1 = ( sin 3x sin x + cos 3x cos x ) + ( cos2 3x − sin2 3x ) 4 4 www.MATHVN.com MATHVN.COM 3 1 = cos ( 3x − x ) + cos 6x 4 4 1 = ( 3cos 2x + cos 3.2x ) 4 1 = ( 3cos 2x + 4 cos3 2x − 3cos 2x ) ( boû doøng naøy cuõng ñöôïc) 4 = cos3 2x 3 +1Baøi 16 : Chöùng minh : cos12o + cos18o − 4 cos15o.cos 21o cos 24 o = − 2 Ta coù : cos12 + cos18 − 4 cos15 ( cos 21 cos 24 ) o o o o o = 2 cos15o cos 3o − 2 cos15o ( cos 45o + cos 3o ) = 2 cos15o cos 3o − 2 cos15o cos 45o − 2 cos15o cos 3o = −2 cos15o cos 45o = − ( cos 60o + cos 30o ) 3 +1 =− 2Baøi 17 : Tính p. = sin2 50o + sin2 70 − cos 50o cos70o 1 1 1 Ta coù : phường = (1 − cos100o ) + (1 − cos140o ) − ( cos120o + cos 20o ) 2 2 2 1 1 ⎛ 1 ⎞ phường = 1 − ( cos100o + cos140o ) − ⎜ − + cos 20o ⎟ 2 2⎝ 2 ⎠ 1 1 p. = 1 − ( cos120o cos 20o ) + − cos 20o 4 2 5 1 1 5 p = + cos 20o − cos 20o = 4 2 2 4 8 3Baøi 18 : Chöùng minh : tg30o + tg40o + tg50o + tg60o = cos 20o 3 sin ( a + b ) AÙp duïng : tga + tgb = cos a cos b Ta coù : ( tg50 + tg40 ) + ( tg30o + tg60o ) o o sin 90o sin 90o = + cos 50o cos 40o cos 30o cos 60o 1 1 = + sin 40 cos 40 o o 1 cos 30o 2 2 2 = + sin 80o cos 30o ⎛ 1 1 ⎞ = 2⎜ + ⎟ ⎝ cos10 cos 30o ⎠ o www.MATHVN.com MATHVN.COM ⎛ cos 30o + cos10o ⎞ = 2⎜ o ⎟ ⎝ cos10 cos 30 ⎠ o cos 20p cos10o =4 cos10o cos 30o 8 3 = cos 20o 3Baøi 19 : đến ΔABC , Chöùng minh : A B C a/ sin A + sin B + sin C = 4 cos cos cos 2 2 2 A B C b/ socA + cos B + cos C = 1 + 4 sin sin sin 2 2 2 c/ sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C d/ cos2 A + cos2 B + cos2 C = −2 cos A cos B cos C e/ tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC f/ cot gA.cot gB + cot gB.cot gC + cot gC.cot gA = 1 A B C A B C g/ cot g + cot g + cot g = cot g .cot g .cot g 2 2 2 2 2 2 A+B A−B a/ Ta coù : sin A + sin B + sin C = 2sin cos + sin ( A + B ) 2 2 A + B⎛ A−B A + B⎞ = 2 sin ⎜ cos + cos ⎟ 2 ⎝ 2 2 ⎠ C A B ⎛ A + B π C⎞ = 4 cos cos cos ⎜ vị = − ⎟ 2 2 2 ⎝ 2 2 2⎠ A+B A−B b/ Ta coù : cos A + cos B + cos C = 2 cos cos − cos ( A + B ) 2 2 A+B A−B ⎛ A+B ⎞ = 2 cos cos − ⎜ 2 cos2 − 1⎟ 2 2 ⎝ 2 ⎠ A+B⎡ A−B A + B⎤ = 2 cos ⎢ cos − cos +1 2 ⎣ 2 2 ⎥⎦ A+B A ⎛ B⎞ = −4 cos sin sin ⎜ − ⎟ + 1 2 2 ⎝ 2⎠ C A B = 4 sin sin sin + 1 2 2 2 c/ sin 2A sin 2B + sin 2C = 2 sin ( A + B ) cos ( A − B ) + 2 sin C cos C = 2 sin C cos(A − B) + 2 sin C cos C = 2sin C = −4 sin Csin A sin( − B) = 4 sin C sin A sin B d/ cos2 A + cos2 B + cos2 C 1 = 1 + ( cos 2A + cos 2B ) + cos2 C 2 www.MATHVN.com MATHVN.COM = 1 + cos ( A + B ) cos ( A − B ) + cos2 C = 1 − cos C ⎡⎣cos ( A − B ) − cos C ⎤⎦ vày ( cos ( A + B ) = − cos C ) = 1 − cos C ⎡⎣cos ( A − B ) + cos ( A + B ) ⎤⎦ = 1 − 2 cos C.cos A.cos B e/ bởi vì a + b = π − C neân ta coù tg ( A + B ) = −tgC tgA + tgB ⇔ = −tgC 1 − tgAtgB ⇔ tgA + tgB = −tgC + tgAtgBtgC ⇔ tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC f/ Ta coù : cotg(A+B) = - cotgC 1 − tgAtgB ⇔ = − cot gC tgA + tgB cot gA cot gB − 1 ⇔ = − cot gC (nhaân töû vaø maãu cho cotgA.cotgB) cot gB + cot gA ⇔ cot gA cot gB − 1 = − cot gC cot gB − cot gA cot gC ⇔ cot gA cot gB + cot gB cot gC + cot gA cot gC = 1 A+B C g/ Ta coù : tg = cot g 2 2 A B tg + tg ⇔ 2 2 = cot g C A B 2 1 − tg tg 2 2 A B cot g + cot g ⇔ 2 2 = cot g C (nhaân töû vaø maãu mang lại cotg A .cotg B ) A B 2 2 2 cot g .cot g − 1 2 2 A B A B C C ⇔ cot g + cot g = cot g cot g cot g − cot g 2 2 2 2 2 2 A B C A B C ⇔ cot g + cot g + cot g = cot g .cot g .cot g 2 2 2 2 2 2Baøi 20 : cho ΔABC . Chöùng minh : cos2A + cos2B + cos 2C + 4cosAcosBcosC + 1 = 0 Ta coù : (cos2A + cos2B) + (cos2C + 1) = 2 cos (A + B)cos(A - B) + 2cos2C = - 2cosCcos(A - B) + 2cos2C = - 2cosC = - 4cosAcosBcosC bởi vì ñoù : cos2A + cos2B + cos2C + 1 + 4cosAcosBcosC = 0 www.MATHVN.com MATHVN.COMBaøi 21 : đến ΔABC . Chöùng minh : 3A 3B 3C cos3A + cos3B + cos3C = 1 - 4 sin sin sin 2 2 2 Ta coù : (cos3A + cos3B) + cos3C 3 3 3C = 2 cos (A + B) cos (A − B) + 1 − 2sin2 2 2 2 3 3 3C Maø : A + B = π − C neân ( A + B ) = π − 2 2 2 3 ⎛ 3π 3C ⎞ => cos ( A + B ) = cos ⎜ − ⎟ 2 ⎝ 2 2 ⎠ ⎛ π 3C ⎞ = − cos ⎜ − ⎟ ⎝2 2 ⎠ 3C = − sin 2 vày ñoù : cos3A + cos3B + cos3C 3C 3 ( A − B) 3C = −2 sin cos − 2sin 2 +1 2 2 2 3C ⎡ 3 ( A − B) 3C ⎤ = −2 sin ⎢cos + sin ⎥ +1 2 ⎣ 2 2 ⎦ 3C ⎡ 3 ( A − B) 3 ⎤ = −2 sin ⎢cos − cos ( A + B ) ⎥ + 1 2 ⎣ 2 2 ⎦ 3C 3A −3B = 4 sin sin sin( ) +1 2 2 2 3C 3A 3B = −4 sin sin sin +1 2 2 2Baøi 22 : A, B, C laø bố goùc cuûa moät tam giaùc. Chöùng minh : sin A + sin B − sin C A B C = tg tg cot g cos A + cos B − cos C + 1 2 2 2 A+B A−B C C 2 sin cos − 2 sin cos sin A + sin B − sin C 2 2 2 2 Ta coù : = cos A + cos B − cos C + 1 A+B A−B 2 C 2 cos cos + 2 sin 2 2 2 C⎡ A−B C⎤ A−B A+B 2 cos ⎢cos − sin ⎥ cos − cos 2⎣ 2 2⎦ C 2 2 = = cot g . C⎡ A−B C⎤ 2 cos A − B + cos A + B 2 sin ⎢cos + sin ⎥ 2⎣ 2 2⎦ 2 2 A ⎛ B⎞ −2 sin .sin ⎜ − ⎟ C 2 ⎝ 2⎠ = cot g . 2 A B 2 cos .cos 2 2 www.MATHVN.com MATHVN.COM C A B = cot g .tg .tg 2 2 2Baøi 23 : cho ΔABC . Chöùng minh : A B C B C A C A Bsin cos cos + sin cos cos + sin cos cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C A B B C A C= sin sin sin + tg tg + tg tg + tg tg ( *) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A+B π C ⎛ A B⎞ C Ta coù : = − vaäy tg ⎜ + ⎟ = cot g 2 2 2 ⎝ 2 2⎠ 2 A B tg + tg ⇔ 2 2 = 1 A B C 1 − tg tg tg 2 2 2 ⎡ A B⎤ C A B ⇔ ⎢ tg + tg ⎥ tg = 1 − tg tg ⎣ 2 2⎦ 2 2 2 A C B C A B ⇔ tg tg + tg tg + tg tg = 1 (1) 2 2 2 2 2 2 A B C B C A C A B bởi ñoù : (*) Ù sin cos cos + sin cos cos + sin cos cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C = sin sin sin + 1 (do (1)) 2 2 2 A⎡ B C B C⎤ A⎡ B C C B⎤ ⇔ sin ⎢cos cos − sin sin ⎥ + cos ⎢sin cos + sin cos ⎥ = 1 2⎣ 2 2 2 2⎦ 2⎣ 2 2 2 2⎦ A B+C A B+C ⇔ sin cos + cos sin =1 2 2 2 2 A+B+C π ⇔ sin = 1 ⇔ sin = 1 ( hieån nhieân ñuùng) 2 2 A B C 3 + cos A + cos B + cos CBaøi 24 : Chöùng minh : tg + tg + tg = ( *) 2 2 2 sin A + sin B + sin C Ta coù : A+B A−B ⎡ C⎤ cos A + cos B + cos C + 3 = 2 cos cos + ⎢1 − 2 sin 2 ⎥ + 3 2 2 ⎣ 2⎦ C A−B C = 2sin cos + 4 − 2sin2 2 2 2 C⎡ A−B C⎤ = 2 sin ⎢cos − sin ⎥ + 4 2⎣ 2 2⎦ C⎡ A−B A + B⎤ = 2 sin ⎢cos − cos +4 2⎣ 2 2 ⎥⎦ C A B = 4 sin sin .sin + 4 (1) 2 2 2 www.MATHVN.com MATHVN.COM A+B A−B sin A + sin B + sin C = 2sin cos + sin C 2 2 C A−B C C = 2 cos cos + 2sin cos 2 2 2 2 C⎡ A−B A + B⎤ = 2 cos ⎢ cos + cos 2⎣ 2 2 ⎥⎦ C A B = 4 cos cos cos (2) 2 2 2 Töø (1) vaø (2) ta coù : A B C A B C sin sin sin sin sin sin + 1 (*) ⇔ 2 + 2 + 2 = 2 2 2 A B C A B C cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 A⎡ B C⎤ B⎡ A C⎤ C⎡ A B⎤ ⇔ sin ⎢cos cos ⎥ + sin ⎢cos cos ⎥ + sin ⎢cos cos ⎥ 2⎣ 2 2⎦ 2⎣ 2 2⎦ 2⎣ 2 2⎦ A B C = sin sin sin + 1 2 2 2 A⎡ B C B C⎤ A⎡ B C C B⎤ ⇔ sin ⎢cos cos − sin sin ⎥ + cos ⎢sin cos + sin cos ⎥ = 1 2⎣ 2 2 2 2⎦ 2⎣ 2 2 2 2⎦ A B+C A B+C ⇔ sin .cos + cos sin =1 2 2 2 2 ⎡A + B + C⎤ ⇔ sin ⎢ ⎥⎦ = 1 ⎣ 2 π ⇔ sin = 1 ( hieån nhieân ñuùng) 2 A B C sin sin sinBaøi 25 : mang đến ΔABC . Chöùng minh: 2 + 2 + 2 =2 B C C A A B cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 Caùch 1 : A B A A B B sin sin sin cos + sin cos Ta coù : 2 + 2 = 2 2 2 2 B C C A A B C cos cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 2 A+B A−B sin cos 1 sin A + sin B 2 2 = = 2 cos A cos B cos C A cos cos cos B C 2 2 2 2 2 2 C A−B ⎛ A − B⎞ cos .cos cos ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ 2 ⎠ = = A B C A B cos .cos .cos cos cos 2 2 2 2 2 www.MATHVN.com MATHVN.COM ⎛ A − B⎞ C A−B A+B cos ⎜ ⎟ sin cos + cos vì ñoù : Veá traùi = ⎝ 2 ⎠+ 2 = 2 2 A B A B A B cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 A B 2 cos cos = 2 2 =2 A B cos cos 2 2 Caùch 2 : B+C A+C A+B cos cos cos Ta coù veá traùi = 2 + 2 + 2 B C C A A B cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 B C B C A C A C cos cos − sin sin cos cos − sin sin = 2 2 2 2 + 2 2 2 2 B C C A cos cos cos cos 2 2 2 2 A B A B cos cos − sin sin + 2 2 2 2 A B cos cos 2 2 ⎡ B C A C A B⎤ = 3 − ⎢ tg tg + tg tg + tg tg ⎥ ⎣ 2 2 2 2 2 2⎦ A B B C A B Maø : tg tg + tg tg + tg tg = 1 2 2 2 2 2 2 (ñaõ chöùng minh taïi baøi 10 ) vị ñoù : Veá traùi = 3 – 1 = 2 A B CBaøi 26 : mang đến ΔABC . Coù cot g , cot g , cot g theo töù töï taïo caáp soá coäng. 2 2 2 A C Chöùng minh cot g .cot g = 3 2 2 A B C Ta coù : cot g , cot g , cot g laø caáp soá coäng 2 2 2 A C B ⇔ cot g + cot g = 2 cot g 2 2 2 A+C B sin 2 cos ⇔ 2 = 2 A C B sin sin sin 2 2 2 www.MATHVN.com MATHVN.COM B B cos 2 cos ⇔ 2 = 2 A C B sin sin sin 2 2 2 1 2 B ⇔ = (do 0 0 ) A C A+C 2 sin sin cos 2 2 2 A C A C cos cos − sin sin ⇔ 2 2 2 2 = 2 ⇔ cot g A cot g C = 3 A C 2 2 sin .sin 2 2Baøi 27 : mang đến ΔABC .

Xem thêm: Giải Bài 9 Trang 59 Sgk Hình Học 10, Bài 9 Trang 59 Sgk Hình Học 10: Bài 3

Chöùng minh : 1 1 1 1⎡ A B C A B C⎤ + + = ⎢ tg + tg + tg + cot g + cot g + cot g ⎥ sin A sin B sin C 2 ⎣ 2 2 2 2 2 2⎦ A B C A B C Ta coù : cot g + cot g + cot g = cot g .cot g .cot g 2 2 2 2 2 2 (Xem chöùng minh baøi 19g ) sin α cos α 2 Maët khaùc : tgα + cot gα = + = cos α sin α sin 2α 1⎡ A B C A B C⎤ vì chưng ñoù : ⎢ tg + tg + tg + cotg + cotg + cotg ⎥ 2⎣ 2 2 2 2 2 2⎦ 1⎡ A B C⎤ 1 ⎡ A B C⎤ = ⎢ tg + tg + tg ⎥ + ⎢ cotg + cotg + cotg ⎥ 2⎣ 2 2 2⎦ 2 ⎣ 2 2 2⎦ 1⎡ A A⎤ 1 ⎡ B B⎤ 1 ⎡ C C⎤ = ⎢ tg + cot g ⎥ + ⎢ tg + cot g ⎥ + ⎢ tg + cot g ⎥ 2⎣ 2 2⎦ 2⎣ 2 2⎦ 2⎣ 2 2⎦ 1 1 1 = + + sin A sin B sin C BAØI TAÄP1. Chöùng minh : π 2π 1 a/ cos − cos = 5 5 2 cos15 + sin15 o o b/ = 3 cos15o − sin15o 2π 4π 6π 1 c/ cos + cos + cos =− 7 7 7 2 d/ sin 2x sin 6x + cos 2x.cos 6x = cos3 4x 3 3 e/ tg20o.tg40o.tg60o.tg80o = 3 π 2π 5π π 8 3 π f/ tg + tg + tg + tg = cos 6 9 18 3 3 9 π 2π 3π 4π 5π 6π 7π 1 g/ cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos = 15 15 15 15 15 15 15 27 www.MATHVN.com