Nội dung bài học kinh nghiệm sẽ reviews đến những em khái niệm cơ bạn dạng về bất đẳng thức và phương pháp giải một số dạng toán cơ phiên bản liên quan cho bất đẳng thức.

Bạn đang xem: Bất đẳng thức côsi lớp 10


1. Tóm tắt lý thuyết

1.1.Định nghĩa

1.2. Tính chất

1.3.Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

1.4.Bất đẳng thức thân trung bình cộng và mức độ vừa phải nhân (Bất đẳng thức Cauchy)

2. Bài tập minh hoạ

3.Luyện tập bài xích 1 chương 4 đại số 10

3.1. Trắc nghiệm về bất đẳng thức

3.2. Bài bác tập SGK và Nâng caovề bất đẳng thức

4.Hỏi đáp vềbài 1 chương 4 đại số 10


*

Cho (a,,,b) là nhị số thực. Các mệnh đề (a > b,,,a chứng tỏ bất đảng thức là minh chứng bất đẳng thức đó đúng(mệnh đề đúng)Với (A,,,B) là mệnh đề chứ thay đổi thì “(A > B)” là mệnh đề đựng biến. Chứng tỏ bất đẳng thức (A > B) (với điều kiện nào đó) nghĩa là chứng tỏ mệnh đề chứa trở thành “A>B” đúng với tất cả các quý hiếm của biến(thỏa mãn đk đó). Khi nói ta tất cả bất đẳng thức (A > B) nhưng mà không nêu điều kiện đối với các thay đổi thì ta hiểu đúng bản chất bất đẳng thức kia xảy ra với tất cả giá trị của vươn lên là là số thực.

1.2. Tính chất


* (a > b) với (b > c Rightarrow a > c)

* (a > b Leftrightarrow a + c > b + c)

* (a > b) với (c > d Rightarrow a + c > b + d)

* nếu (c > 0) thì (a > b Leftrightarrow ac > bc)

Nếu (c b Leftrightarrow ac b ge 0 Rightarrow sqrt a > sqrt b )

* (a ge b ge 0 Leftrightarrow a^2 ge b^2)

*(a > b ge 0 Rightarrow a^n > b^n)


1.3. Bất đẳng thức về quý giá tuyệt đối


* ( - left| a ight| le a le left| a ight|) với mọi số thực (a) .

* (left| x ight| 0))

* (left| x ight| > a Leftrightarrow left< eginarraylx > a\x 0))


1.4. Bất đẳng thức thân trung bình cộng và vừa đủ nhân (Bất đẳng thức Cauchy)


a) Đối với nhị số không âm

Cho (a ge 0,,,b ge m0), ta gồm (fraca + b2 ge sqrt ab ). Lốt "=" xảy ra khi còn chỉ khi (a = b)

Hệ quả:

* hai số dương bao gồm tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau

* hai số dương bao gồm tích không thay đổi thì tổng bé dại nhất khi hai số đó bởi nhau

b) Đối với tía số không âm

Cho (a ge 0,,,b ge 0,,,c ge 0), ta bao gồm (fraca + b + c3 ge sqrt<3>abc). Dấu "=" xảy ra khi và chỉ còn khi (a = b = c)


Bài tập minh họa


DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN

1. Cách thức giải

Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT) (A ge B) ta có thể sử dụng những cách sau:

Ta đi chứng tỏ (A - B ge 0). Để chứng minh nó ta thường xuyên sử dụng những hằng đẳng thức nhằm phân tích (A - B) thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm.

Xuất phạt từ BĐT đúng, biến hóa tương đương về BĐT cần chứng minh.

2. Những ví dụ minh họa

Loại 1: thay đổi tương đương về bất đẳng thức đúng

Ví dụ 1:

Cho hai số thực (a,b,c). Chứng tỏ rằng các bất đẳng thức sau

a) (ab le fraca^2 + b^22)

b) (ab le left( fraca + b2 ight)^2)

c) (3left( a^2 + b^2 + c^2 ight) ge left( a + b + c ight)^2)

d) (left( a + b + c ight)^2 ge 3left( ab + bc + ca ight))

Hướng dẫn:

a) Ta tất cả (a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2 ge 0 Rightarrow a^2 + b^2 ge 2ab). Đẳng thức( Leftrightarrow a = b).

b) Bất đẳng thức tương đương với (left( fraca + b2 ight)^2 - ab ge 0)

( Leftrightarrow a^2 + 2ab + b^2 ge 4ab Leftrightarrow left( a - b ight)^2 ge 0) (đúng) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra( Leftrightarrow a = b)

c) BĐT tương tự (3left( a^2 + b^2 + c^2 ight) ge a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca)

( Leftrightarrow left( a - b ight)^2 + left( b - c ight)^2 + left( c - a ight)^2 ge 0) (đúng) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra( Leftrightarrow a = b = c)

d) BĐT tương đương (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca ge 3left( ab + bc + ca ight))

( Leftrightarrow 2left( a^2 + b^2 + c^2 ight) - 2left( ab + bc + ca ight) ge 0) ( Leftrightarrow left( a - b ight)^2 + left( b - c ight)^2 + left( c - a ight)^2 ge 0) (đúng) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra( Leftrightarrow a = b = c)

Nhận xét: những BĐT trên được áp dụng nhiều, và được xem như là "bổ đề" trong chứng minh các bất đẳng thức khác.

Ví dụ 2:

Cho năm số thực (a,b,c,d,e). Chứng minh rằng

(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 ge a(b + c + d + e)).

Hướng dẫn:

Ta có: (a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 - a(b + c + d + e) = )

( = (fraca^24 - ab + b^2) + (fraca^24 - ac + c^2) + (fraca^24 - ad + d^2) + (fraca^24 - ae + e^2))

( = (fraca2 - b)^2 + (fraca2 - c)^2 + (fraca2 - d)^2 + (fraca2 - e)^2 ge 0 Rightarrow ) đpcm.

Đẳng thức xẩy ra ( Leftrightarrow b = c = d = e = fraca2).

Loại 2: khởi nguồn từ một BĐT đúng ta thay đổi đến BĐT đề nghị chứng minh

Đối với nhiều loại này thường xuyên cho giải thuật không được tự nhiên và ta thường thực hiện khi các biến có những ràng buộc sệt biệt

* để ý hai mệnh đề sau thường xuyên dùng

(a in left< alpha ;eta ight> Rightarrow left( a - alpha ight)left( a - eta ight) le 0) (left( * ight))

(a,b,c in left< alpha ;eta ight> Rightarrow left( a - alpha ight)left( b - alpha ight)left( c - alpha ight) + left( eta - a ight)left( eta - b ight)left( eta - c ight) ge 0left( ** ight))

Ví dụ 1:

Cho a,b,c là độ dài cha cạnh tam giác. Minh chứng rằng:(a^2 + b^2 + c^2 hướng dẫn:

Vì a,b,c là độ dài cha cạnh tam giác bắt buộc ta có:

(a + b > c Rightarrow ac + bc > c^2). Tương tự

(bc + bố > b^2; m ca + cb > c^2) cộng ba BĐT này lại với nhau ta tất cả đpcm

Nhận xét:

* Ở trong vấn đề trên ta đã bắt đầu từ BĐT đúng kia là tính chất về độ dài cha cạnh của tam giác. Tiếp nối vì cần xuất hiện bình phương cần ta nhân hai vế của BĐT với c.

Ngoài ra nếu khởi đầu từ BĐT (|a - b| ví dụ 2:

Cho (a,b,c in <0;1>). Triệu chứng minh: (a^2 + b^2 + c^2 le 1 + a^2b + b^2c + c^2a)

Hướng dẫn:

Cách 1:

Vì (a,b,c in <0;1> Rightarrow (1 - a^2)(1 - b^2)(1 - c^2) ge 0)

( Leftrightarrow 1 + a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 - a^2b^2c^2 ge a^2 + b^2 + c^2) (*)

Ta có: (a^2b^2c^2 ge 0; m a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 le a^2b + b^2c + c^2a) phải từ (*) ta suy ra

(a^ m2 + b^2 + c^2 le 1 + a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 le 1 + a^2b + b^2c + c^2a) đpcm.

Cách 2:

BĐT cần minh chứng tương đương cùng với ( ma^ m2left( 1 - b ight) + b^2left( 1 - c ight) + c^2left( 1 - a ight) le 1)

Mà (a,b,c in left< 0;1 ight>) ( Rightarrow a^2 le a,b^2 le b,c^2 le c) bởi vì đó

(a^2left( 1 - b ight) + b^2left( 1 - c ight) + c^2left( 1 - a ight) le aleft( 1 - b ight) + bleft( 1 - c ight) + cleft( 1 - a ight))

Ta chỉ cần chứng minh (aleft( 1 - b ight) + bleft( 1 - c ight) + cleft( 1 - a ight) le 1)

Thật vậy: vì (a,b,c in left< 0;1 ight>) yêu cầu theo dìm xét (left( ** ight)) ta có

(abc + left( 1 - a ight)left( 1 - b ight)left( 1 - c ight) ge 0)

( Leftrightarrow )(a + b + c - left( ab + bc + ca ight) le 1)

( Leftrightarrow )(aleft( 1 - b ight) + bleft( 1 - c ight) + cleft( 1 - a ight) le 1)

vậy BĐT ban sơ được chứng minh.

DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(côsi) ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

1. Phương pháp giải

Một số chú ý khi thực hiện bất đẳng thức côsi:

* Khi áp dụng bđt côsi thì các số bắt buộc là những số ko âm

* BĐT côsi hay được áp dụng khi vào BĐT cần minh chứng có tổng với tích

* Điều kiện xẩy ra dấu ‘=’ là những số bằng nhau

* Bất đẳng thức côsi còn có bề ngoài khác thường xuất xắc sử dụng

Đối với hai số:(x^2,, + ,y^2,, ge ,,2xy;,,,,,,,,x^2,, + ,y^2,, ge ,,frac(x, + ,y)^22;,,,,,,,xy le ,,left( fracx + y2 ight)^2).

Đối với bố số: (abc le fraca^3 + b^3 + c^33,,,abc le left( fraca + b + c3 ight)^3)

2. Những ví dụ minh họa

Loại 1: áp dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi

Ví dụ 1:

Cho (a,b) là số dương thỏa mãn (a^2 + b^2 = 2). Minh chứng rằng

a) (left( fracab + fracba ight)left( fracab^2 + fracba^2 ight) ge 4)

b) (left( a + b ight)^5 ge 16absqrt left( 1 + a^2 ight)left( 1 + b^2 ight) )

Hướng dẫn:

a) Áp dụng BĐT côsi ta có

(fracab + fracba ge 2sqrt fracab.fracba = 2,,,fracab^2 + fracba^2 ge 2sqrt fracab^2.fracba^2 = frac2sqrt ab )

Suy ra (left( fracab + fracba ight)left( fracab^2 + fracba^2 ight) ge frac4sqrt ab ) (1)

Mặt khác ta gồm (2 = a^2 + b^2 ge 2sqrt a^2b^2 = 2ab Rightarrow ab le 1) (1)

Từ (1) với (2) suy ra (left( fracab + fracba ight)left( fracab^2 + fracba^2 ight) ge 4) ĐPCM.

Đẳng thức xẩy ra khi còn chỉ khi (a = b = 1).

b) Ta có (left( a + b ight)^5 = left( a^2 + 2ab + b^2 ight)left( a^3 + 3ab^2 + 3a^2b + b^3 ight))

Áp dụng BĐT côsi ta có

(a^2 + 2ab + b^2 ge 2sqrt 2ableft( a^2 + b^2 ight) = 4sqrt ab ) và (left( a^3 + 3ab^2 ight) + left( 3a^2b + b^3 ight) ge 2sqrt left( a^3 + 3ab^2 ight)left( 3a^2b + b^3 ight) = 4sqrt ableft( 1 + b^2 ight)left( a^2 + 1 ight) )

Suy ra (left( a^2 + 2ab + b^2 ight)left( a^3 + 3ab^2 + 3a^2b + b^3 ight) ge 16absqrt left( a^2 + 1 ight)left( b^2 + 1 ight) )

Do đó (left( a + b ight)^5 ge 16absqrt left( 1 + a^2 ight)left( 1 + b^2 ight) ) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (a = b = 1).

Ví dụ 2:

Cho (a,b,c) là số dương. Chứng minh rằng

a) (left( a + frac1b ight)left( b + frac1c ight)left( c + frac1a ight) ge 8)

b) (a^2(1 + b^2) + b^2(1 + c^2) + c^2(1 + a^2) ge 6abc)

c) ((1 + a)(1 + b)(1 + c) ge left( 1 + sqrt<3>abc ight)^3)

d) (a^2sqrt bc + b^2sqrt ac + c^2sqrt ab le a^3 + b^3 + c^3)

Hướng dẫn:

a) Áp dụng BĐT côsi ta có

(a + frac1b ge 2sqrt fracab ,,,b + frac1c ge 2sqrt fracbc ,,,c + frac1a ge 2sqrt fracca )

Suy ra (left( a + frac1b ight)left( b + frac1c ight)left( c + frac1a ight) ge 8sqrt fracab .sqrt fracbc .sqrt fracca = 8) ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra khivà chỉ khi (a = b = c).

b) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có

(1 + a^2 ge 2sqrt a^2 = 2a), tựa như ta bao gồm (1 + b^2 ge 2b,,,1 + c^2 ge 2c)

Suy ra (a^2(1 + b^2) + b^2(1 + c^2) + c^2(1 + a^2) ge 2left( a^2b + b^2c + c^2a ight))

Mặt khác, vận dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có

(a^2b + b^2c + c^2a ge 3sqrt a^2b.b^2c.c^2a = 3abc)

Suy ra (a^2(1 + b^2) + b^2(1 + c^2) + c^2(1 + a^2) ge 6abc). ĐPCM.

Đẳng thức xảy ra khivà chỉ khi (a = b = c = 1).

c) Ta tất cả ((1 + a)(1 + b)(1 + c) = 1 + left( ab + bc + ca ight) + left( a + b + c ight) + abc)

Áp dụng BĐT côsi cho bố số dương ta có

(ab + bc + ca ge 3sqrt<3>ab.bc.ca = 3left( sqrt<3>abc ight)^2) cùng (a + b + c ge 3sqrt<3>abc)

Suy ra ((1 + a)(1 + b)(1 + c) ge 1 + 3left( sqrt<3>abc ight)^2 + 3sqrt<3>abc + abc = left( 1 + sqrt<3>abc ight)^3) ĐPCM

Đẳng thức xẩy ra khivà chỉ khi (a = b = c).

d) Áp dụng BĐT côsi mang lại hai số dương ta có

(a^2sqrt bc le a^2left( fracb + c2 ight),,,,b^2sqrt ac le b^2left( fraca + c2 ight),,,c^2sqrt ab le c^2left( fraca + b2 ight))

Suy ra (a^2sqrt bc + b^2sqrt ac + c^2sqrt ab le fraca^2b + b^2a + a^2c + c^2a + b^2c + c^2b2) (1)

Mặt khác theo BĐT côsi cho ba số dương ta có

(a^2b le fraca^3 + a^3 + b^33,,,b^2a le fracb^3 + b^3 + a^33,,,a^2c le fraca^3 + a^3 + c^33,)

(c^2a le fracc^3 + c^3 + a^33,,,b^2c le fracb^3 + b^3 + c^33,,,c^2b le fracc^3 + c^3 + b^33)

Suy ra (a^2b + b^2a + a^2c + c^2a + b^2c + c^2b le 2left( a^3 + b^3 + c^3 ight)) (2)

Từ (1) cùng (2) suy ra (a^2sqrt bc + b^2sqrt ac + c^2sqrt ab le a^3 + b^3 + c^3)

Đẳng thức xảy ra khivà chỉ khi (a = b = c).

Loại 2: kinh nghiệm tách, thêm bớt, ghép cặp

Để chứng tỏ BĐT ta thường xuyên phải biến hóa (nhân chia, thêm, bớt một biểu thức) để tạo biểu thức hoàn toàn có thể giản cầu được sau khi áp dụng BĐT côsi.Khi gặp BĐT bao gồm dạng (x + y + z ge a + b + c)(hoặc (xyz ge abc)), ta hay đi minh chứng (x + y ge 2a)(hoặc(ab le x^2)), xây dựng các BĐT tựa như rồi cộng(hoặc nhân) vế cùng với vế ta suy ra điều bắt buộc chứng minh.Khi tách bóc và áp dụng BĐT côsi ta nhờ vào việc đảm bảo an toàn dấu bởi xảy ra(thường vết bằng xẩy ra khi các biến bằng nhau hoặc tại biên).Ví dụ:

Cho (a,b,c) là số dương. Minh chứng rằng:

a) (fracabc + fracbca + fracacb ge a + b + c)

b) (fracab^2 + fracbc^2 + fracca^2 ge frac1a + frac1b + frac1c)

Hướng dẫn:

a) Áp dụng BĐT côsi ta tất cả (fracabc + fracbca ge 2sqrt fracabc.fracbca = 2b)

Tương trường đoản cú ta có (fracbca + fracacb ge 2c,,,fracacb + fracbac ge 2a).

Cộng vế với vế các BĐT trên ta được

(2left( fracabc + fracbca + fracacb ight) ge 2left( a + b + c ight) Leftrightarrow fracabc + fracbca + fracacb ge a + b + c) ĐPCM

Đẳng thức xảy ra khi (a = b = c) .

Xem thêm: Giải Toán 10 Bài 3 Các Phép Toán Tập Hợp, Giải Bài Tập Bài 3: Các Phép Toán Tập Hợp

b) Áp dụng BĐT côsi ta bao gồm (fracab^2 + frac1a ge 2sqrt fracab^2.frac1a = frac2b)

Tương tự ta gồm (fracbc^2 + frac1b ge frac2c,,,fracca^2 + frac1c ge frac2a)

Cộng vế với vế những BĐT trên ta được

(fracab^2 + fracbc^2 + fracca^2 + frac1a + frac1b + frac1c ge frac2a + frac2b + frac2c Leftrightarrow fracab^2 + fracbc^2 + fracca^2 ge frac1a + frac1b + frac1c) ĐPCM.