Bài viết trình bày vừa đủ các hệ thức lượng vào tam giác cùng một số trong những dạng toán liên quan, trong mỗi dạng toán, nội dung bài viết hướng dẫn đưa ra tiết phương pháp giải toán, các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện đi kèm.

Bạn đang xem: Bài tập hệ thức lượng trong tam giác

A. HỆ THỨC LƯỢNG vào TAM GIÁCCho tam giác $ABC$ gồm $a$, $b$, $c$ theo lần lượt là độ dài ba cạnh đối lập với tía góc $A$, $B$, $C$ của tam giác.

*

1. Định lí cosin:$a^2 = b^2 + c^2 – 2bccos A.$$b^2 = c^2 + a^2 – 2cacos B.$$c^2 = a^2 + b^2 – 2abcos C.$2. Định lí sin:$fracasin A = fracbsin B = fraccsin C = 2R$ ($R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$).3. Độ dài con đường trung đường của tam giác: điện thoại tư vấn $m_a$, $m_b$, $m_c$ là độ dài những đường trung con đường lần lượt vẽ từ những đỉnh $A$, $B$, $C$ của tam giác $ABC.$$m_a^2 = fracb^2 + c^22 – fraca^24.$$m_b^2 = fracc^2 + a^22 – fracb^24.$$m_c^2 = fraca^2 + b^22 – fracc^24.$4. Những công thức tính diện tích s tam giác: điện thoại tư vấn $R$, $r$ lần lượt là nửa đường kính đường tròn nước ngoài tiếp, con đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$, $p$ là nửa chu vi $left( p = fraca + b + c2 ight)$ với $S$ là diện tích s của tam giác.$S = frac12absin C$ $ = frac12bcsin A = frac12casin B.$$S = fracabc4R = pr.$$S = sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) $ (công thức Hê-rông).

B. CÁC DẠNG TOÁN HỆ THỨC LƯỢNG trong TAM GIÁCDạng 1: Tính một số yếu tố vào tam giác theo một trong những yếu tố đến trước (trong đó có ít nhất một cạnh). Giải tam giác.Phương pháp:+ áp dụng định lí cosin và định lí sin.+ tính toán các nhân tố trung gian (trước khi tính yếu ớt tố bắt buộc tìm) bằng những hệ thức lượng vào tam giác phù hợp hợp.Chú ý: bạn đọc hãy ôn tập lại các hệ thức lượng vào tam giác vuông (đã học ở lớp 9).

Bài toán 1: cho tam giác $ABC$ bao gồm $b = 23$ $cm$, $c = 14$ $cm$, $widehat A = 100^0 .$a) Tính những cạnh và góc còn sót lại của tam giác.b) Tính diện tích s của tam giác.c) Tính con đường cao $h_a$ vẽ từ $A$ của tam giác.

*

Theo định lí cosin, ta có: $a^2 = b^2 + c^2 – 2bccos A$ $ = 23^2 + 14^2 – 2.23.14.cos 100^0 $ $ approx 836,83.$Do đó: $a = sqrt 836,83 approx 28.9$ ($cm$).Từ định lí cosin ta cũng có: $cos B = fraca^2 + c^2 – b^22ac$ $ = frac(28,9)^2 + 14^2 – 23^22.28,9.14 approx 0,62.$Do kia $widehat B approx 51^0 41′ .$Khi đó: $widehat C approx 180^0 – left( 100^0 + 51^0 41′ ight) = 28^0 19′ .$b) Ta có: $S = frac12absin C$ $ = frac12.28,9.23.sin 28^0 19′ approx 157,6$ $left( cm^2 ight).$c) Ta có: $h_a = bsin C$ $ = 23.sin 28^0 19′ approx 10,9$ $(cm).$

Bài toán 2: cho tam giác $ABC$ có $a = 12$ $cm$, $widehat B = 70^0 $, $widehat C = 35^0 .$a) Tính các cạnh và các góc còn lại của tam giác.b) Tính bán kính $R$ của mặt đường tròn nước ngoài tiếp tam giác.

*

a) Ta có: $widehat A = 180^0 – (widehat B + widehat C)$ $ = 180^0 – left( 70^0 + 35^0 ight) = 75^0 .$Theo định lí sin, ta có: $fracasin A = fracbsin B = fraccsin C.$Suy ra: $left{ eginarray*20lb = fracasin Bsin A\c = fracasin Csin Aendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20lb = frac12.sin 70^0 sin 75^0 \c = frac12.sin 35^0 sin 75^0 endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20lb approx 11,7cm\c approx 7,1cmendarray ight.$b) Theo định lí sin, ta có: $2R = fracasin A$ $ Rightarrow R = fraca2sin A$ $ = frac122sin 75^0 approx 6,2$ $(cm).$Nhận xét:– Ta áp dụng định lí cosin khi biết $2$ cạnh và góc xen giữa $2$ cạnh đó.– Ta sử dụng định lí sin khi biết:+ $1$ cạnh và góc đối diện cạnh đó.+ $1$ cạnh cùng $2$ góc kề cùng với nó (lúc này ta công thêm được góc đối lập cạnh đó).– việc đào bới tìm kiếm các yếu tố của tam giác lúc biết những yếu tố khác nói một cách khác là giải tam giác.

Bài toán 3: mang đến tam giác $ABC$ tất cả $a = 13$ $cm$, $b = 14$ $cm$, $c = 15$ $cm.$a) Tính $hat A$, $cos B$, $ an C.$b) Tính diện tích của tam giác.

*

Theo định lí cosin, ta có:$cos A = fracb^2 + c^2 – a^22bc$ $ = frac14^2 + 15^2 – 13^22.14.15 = 0,6$ $ Rightarrow widehat A approx 53^0 7′.$$cos B = fraca^2 + c^2 – b^22ac$ $ = frac13^2 + 15^2 – 14^22.13.15 approx 0,5.$Ta có: $sin ^2B = 1 – cos ^2B$ $ = 1 – (0,5)^2 = 0,75 = frac34$ $ Rightarrow sin B = fracsqrt 3 2.$Do $cos B approx 0,5 Rightarrow widehat B approx 60^0 .$Từ đó: $widehat C approx 180^0 – left( 53^0 7′ + 60^0 ight) = 66^0 53’$ $ Rightarrow an C = an 66^0 53′ approx 2,34.$

Dạng 2: minh chứng các hệ thức tương quan tới những yếu tố vào tam giác. Phương pháp: Sử dụng các hệ thức lượng đã gồm và những tính chất, các yếu tố vào tam giác để hội chứng minh.

Bài toán: mang lại tam giác $ABC$ có những cạnh $a$, $b$, $c$, những đường cao khớp ứng là $h_a$, $h_b$, $h_c.$ bệnh minh:a) $r = (p – a) an fracA2$ $ = (p – b) an fracB2$ $ = (p – c) an fracC2.$b) $frac1h_a + frac1h_b + frac1h_c = frac1r.$

*

Ta có: $r = IE = AE. an fracA2$ $(*).$Mặt khác: $AE + AF + BF$ $ + BD + CD + CE = 2p$ $ Rightarrow 2AE + 2(BD + CD) = 2p$ $ Rightarrow 2AE + 2a = 2p$ $ Rightarrow AE = phường – a.$Thế vào $(*)$ ta có: $r = (p – a) an fracA2.$Tương tự ta chứng tỏ được: $r = (p – b) an fracB2$ $ = (p – c) an fracC2.$b) phụ thuộc công thức tính diện tích tam giác: $S = frac12ah_a = frac12bh_b = frac12ch_c = pr$, ta có: $frac1h_a = fraca2S$, $frac1h_b = fracb2S$, $frac1h_c = fracc2S$, $frac1r = fracpS.$

Dạng 3: nhấn dạng tam giác.Phương pháp: Sử dụng các hệ thức lượng vào tam giác và các tính chất của những tam giác sệt biệt: tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều.Chú ý:+ ví như $b^2 + c^2 = a^2$ thì tam giác $ABC$ vuông trên $A.$+ nếu như $b = c$ thì tam giác $ABC$ cân tại $A.$+ trường hợp $a = b = c$ thì tam giác $ABC$ đều.

Bài toán 1: khẳng định dạng của tam giác $ABC$, biết: $S = frac14(a + b – c)left( a – b + c ight).$

Theo bí quyết Hê-rông, ta có: $S = sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) .$Do đó: $sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) $ $ = frac14(a + b – c)(a – b + c)$ $ Leftrightarrow sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) $ $ = (p – c)(p – b)$ $ Leftrightarrow p(p – a)(p – b)(p – c)$ $ = (p – c)^2(p – b)^2$ $ Leftrightarrow p(p – a)$ $ = (p – b)(p – c)$ $ Leftrightarrow p^2 – pa$ $ = p^2 – pb – pc + bc$ $ Leftrightarrow p(b + c – a) = bc$ $ Leftrightarrow (a + b – c)(b + c – a) = 2bc$ $ Leftrightarrow (b + c)^2 – a^2 = 2bc$ $ Leftrightarrow b^2 + 2bc + c^2 – a^2 = 2bc$ $ Leftrightarrow b^2 + c^2 = a^2.$Vậy tam giác $ABC$ vuông trên $A.$

Bài toán 2: Tam giác $ABC$ có các góc và các cạnh thoả mãn: $frac1 + cos Bsin B = frac2a + csqrt 4a^2 – c^2 .$ minh chứng tam giác $ABC$ là tam giác cân.

Ta có: $frac1 + cos Bsin B = frac2a + csqrt 4a^2 – c^2 $ $ Leftrightarrow left( frac1 + cos Bsin B ight)^2 = left( frac2a + csqrt 4a^2 – c^2 ight)^2$ $ Leftrightarrow frac(1 + cos B)^2sin ^2B = frac(2a + c)^24a^2 – c^2$ $ Leftrightarrow frac(1 + cos B)^21 – cos ^2B = frac2a + c2a – c$ $ Leftrightarrow frac1 + cos B1 – cos B = frac2a + c2a – c.$Theo định lí cosin, ta có: $cos B = fraca^2 + c^2 – b^22ac.$Do đó: $frac1 + cos B1 – cos B$ $ = frac1 + fraca^2 + c^2 – b^22ac1 – fraca^2 + c^2 – b^22ac$ $ = fraca^2 + c^2 – b^2 + 2acb^2 – a^2 – c^2 + 2ac.$Tức là: $fraca^2 + c^2 – b^2 + 2acb^2 – a^2 – c^2 + 2ac$ $ = frac2a + c2a – c$ $ Leftrightarrow 2a^3 + 2ac^2 – 2ab^2 + 4a^2c$ $ – a^2c – c^3 + b^2c – 2ac^2$ $ = 2ab^2 – 2a^3 – 2a^2 – 4a^2c$ $ + b^2c – a^2c – c^3 + 2ac^2$ $ Leftrightarrow 4a^3 – 4ab^2 = 0$ $ Leftrightarrow 4aleft( a^2 – b^2 ight) = 0$ $ Leftrightarrow a^2 = b^2$ $ Leftrightarrow a = b.$Vậy tam giác $ABC$ cân tại $C.$

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆNBài toán 1: Tính các góc, các cạnh còn lại, con đường cao $h_a$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ của tam giác $ABC$ biết:a) $a = 118cm$, $b = 92cm$, $widehat C = 58^0 .$b) $b = 31,2cm$, $widehat A = 124^0 30’$, $widehat C = 18^0 .$c) $a = 153cm$, $b = 117cm$, $c = 134cm.$

Bài toán 2: gọi $m_a$, $m_b$, $m_c$ là các trung tuyến ứng với các cạnh $a$, $b$, $c$ của tam giác $ABC$:a) Biết $a = 26cm$, $b = 18cm$, $c = 16cm.$ Tính $m_a.$b) Biết $a = 7cm$, $b = 11cm$, $m_c = 6cm.$ Tính $c.$c) Biết $a = 5cm$, $b = 7 cm$, $widehat C = 46^0 .$ Tính $m_b.$

Bài toán 3: hotline $I$, $J$ lần lượt là trung điểm của các đường chéo $AC$, $BD$ của tứ giác $ABCD$, bệnh minh:a) $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = AC^2 + BD^2 + 4IJ^2.$b) Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $ Leftrightarrow AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = AC^2 + BD^2.$c) xác định công thức tính đường chéo cánh $d$ của hình thang cân biết đáy nhỏ là $a$, đáy lớn là $b$ và sát bên là $c.$

Bài toán 4: chứng tỏ tập những điểm cơ mà tổng những bình phương khoảng cách đến $2$ điểm thắt chặt và cố định $A$, $B$ cho trước bằng một vài không thay đổi $k^2$ là một trong những đường tròn.

Bài toán 5: cho tam giác $ABC$, bệnh minh:a) $S = fracabc4R.$b) $S = pr.$c) $sin A = frac2bcsqrt p(p – a)(p – b)(p – c) .$d) $S = sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) .$

Bài toán 6: điện thoại tư vấn $r_a$, $r_b$, $r_c$ theo lần lượt là bán kính đường tròn bàng tiếp thuộc cạnh $a$, $b$, $c$ của tam giác $ABC$, $r$ là nửa đường kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC.$ triệu chứng minh:a) $r_a = p an fracA2$ $ = fracSp – a$ $ = frac(p – b)(p – c)r.$b) $frac1r_a + frac1r_b + frac1r_c = frac1r.$c) $S = sqrt r.r_a.r_b.r_c .$d) $r = p an fracA2 an fracB2 an fracC2.$e) $r_a + r_b + r_c – r = 4R$ (công thức Stây-nơ).

Xem thêm: Bài Tập Hình Học 10 Chương 1, Bài Tập Tổng Hợp Ôn Tập Chương I Hình Học 10

Bài toán 7: đến tam giác $ABC$, hội chứng minh:a) $h_a = frac2asqrt p(p – a)(p – b)(p – c) .$b) $c^2 = (a – b)^2 + 4S.frac1 – cos Csin C.$c) $ asin Bsin C = h_asin A.$d) $cot A + cot B + cot C$ $ = fracRleft( a^2 + b^2 + c^2 ight)abc.$

Bài toán 8: mang đến tam giác $ABC$, chứng minh:a) ví như $m_a = c$ thì $ an B = 3 an C.$b) giả dụ $a + c = 2b$ thì $ac = 6Rr.$

Bài toán 9: chứng minh điều kiện buộc phải và đủ để tam giác $ABC$ vuông là:a) $sin A = fracsin B + sin Ccos B + cos C.$b) $ an fracB2 = fracba + c.$c) $2R + r = p.$

Bài toán 10: xác minh dạng tam giác $ABC$, biết rằng:a) $(p – b)cot fracC2 = p an fracB2.$b) $fracsin ^2Bsin ^2C = frac an B an C.$c) $S = frac23R^2left( sin ^3A + sin ^3B + sin ^3C ight).$d) $sin ^4C + 2sin ^4A + 2sin ^4B$ $ = 2sin ^2Cleft( sin ^2A + sin ^2B ight).$

Bài toán 11: minh chứng rằng nếu như $left{ eginarray*20lc = 2acos B\fraca^3 + b^3 – c^3a + b – c = c^2endarray ight.$ thì tam giác $ABC$ đều.