Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Với chuyên đề Hệ thức lượng vào tam giác vuông Toán lớp 9 tổng hợp những dạng bài tập, bài tập trắc nghiệm gồm lời giải chi tiết với đầy đủ phương pháp giải, lấy ví dụ như minh họa để giúp đỡ học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Hệ thức lượng vào tam giác vuông từ kia đạt điểm cao trong bài xích thi môn Toán lớp 9.

Bạn đang xem: Bài tập hệ thức lượng trong tam giác toán 9

*

Một số hệ thức về cạnh và mặt đường cao trong tam giác vuông

A. Phương pháp giải

*

Cho tam giác ABC vuông góc tại A, mặt đường cao AH. Khi đó ta có:

1, c2 = ac", b2 = ab"

2, a2 = b2 + c2

3, ah = bc

4, h2 = b".c"

5, 1/h2 = 1/b2 + 1/c2

B. Bài xích tập tự luận

Bài 1: Tính x, y trong số trường phù hợp sau

*
*

Hướng dẫn giải

a, Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông ABC có:

BC2= AB2+ AC2

BC2= 52+ 72

BC2= 74

Suy ra BC = √74

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giac vuông ABC: AB2 = BD.BC

=> BD = AB2/BC => x = 25/√74

DC = BC - BD = √74 - 25/√74 = 49/√74

Vậy x = 25/√74 và y = 49/√74

b) Ta có: BC= BD + DC = 2 + 6 = 8

Áp dụng hệ thức lượng ta có:

AB2= BD.BC = 2.8 = 16. Suy ra AB = 4 giỏi x = 4.

AC2= DC.BC = 6.8 = 48. Suy ra AC = √48 tốt y = √48

Bài 2: mang lại tam giác ABC vuông trên A, con đường cao AH. Tính BC, AC, AH biết AB = 15cm, HC = 16cm.

*

Hướng dẫn giải

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:

AC2 = CH.BC = 16.BC

AB2 + AC2 = BC2

⇔ 152 + 16.BC = BC2

⇔ BC2 - 16.BC - 225 = 0

⇔ BC2 - 25BC + 9BC - 225 = 0

⇔ BC(BC - 25) + 9(BC - 25) = 0

⇔ (BC - 25)(BC + 9) = 0

⇔ BC = 25 hoặc BC = -9(loại)

=> AC2 = 16.BC = 16.25 = 400

=> AC = 20

+ Xét tam giác vuông ABC có: AH.BC = AB.AC (hệ thức lượng)

Vậy BC=25(cm); AC=20(cm); AH=12(cm)

Bài 3: đến tam giác ABC tất cả AB = 48cm, BC = 50cm, AC = 14cm. Tính độ lâu năm phân giác giác góc C

*

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC, ta có

BC2 = 502 = 2500

AB2 + AC2 = 142 + 482 = 2500

=> BC2 = AB2 + AC2

=> Tam giác ABC vuông tại A

Có DA/DB = CA/CB = 14/50 = 7/25 (tính chất tia phân giác)

=> DB = 25/7 DA.

Ta bao gồm DA + DB = AB

⇔ da + 25/7 domain authority = AB ⇔ DA. 32/7 = 48 ⇔ domain authority = 10,5cm

Xét tam giác vuông ACD, theo đinh lí Pi-ta-go ta có

CD2 = AC2 + AD2 = 142 + 10,52 = 306,25 => CD = 17,5cm

Bài 4: cho tam giác ABC vuông trên A, AB=24cm, AC=32cm. Đường trung trực của BC giảm AC, BC theo đồ vật tự D cùng E. Tính DE.

*

Hướng dẫn giải

Xét tam giác vuông ABC, ta có:

BC2 = AB2+ AC2 ( theo định lý py-ta-go)

BC2 = 242+ 322

BC2 = 1600

BC = 40(cm)

EC = BC : 2 = 40 : 2 = 20(cm)

Xét tam giác vuông ngân hàng á châu acb và tam giác vuông ECD có:

Có ∠A = ∠E = 90o

∠C chung

=> Tam giác acb ∾ tam giác ECD (g.g)

=> AC/EC = AB/ED

=> ED = AB.EC/AC = 15cm

Vậy ED = 15cm

Bài tập trắc nghiệm Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Câu 1: đến tam giác ABC vuông tại A tất cả đường cao AH khởi nguồn từ A và AB=3; AC=4. Tính độ dài đoạn AH

A. 2,5 cmB. 3cmC. 2,4cmD. 2cm

Câu 2: mang lại tam giác ABC vuông tại A, tất cả AB=9cm, AC=12cm. Độ dài mặt đường cao AH là:

A. 7,2 cmB. 5cmC.6,4 cmD. 5,4cm

Câu 3: mang đến tam giac ABC vuông tại A có AB=2cm, AC=4cm. Độ dài mặt đường cao AH là:

*

Câu 4: Tam giác ABC vuông trên A, tất cả AB=2cm, AC=3cm. Khi ấy độ dài đường cao AH bằng:

*

Câu 5: mang lại tam giác ABC tất cả AH là con đường cao khởi đầu từ A, hệ thức nào bên dưới đây minh chứng tam giác ABC vuông trên A

A.BC2 = AB2 + AC2

B.AH2 = HB.HC

C.AB2 = BH.BC

D.A, B, C đông đảo đúng.

Câu 6: mang lại tam giác ABC tất cả đường cao khởi nguồn từ A. Nếu như ∠BAC = 90o thì hệ thức nào sau đây đúng?

A.BC2 = AB2+AC2

B.AH2 = HB.HC

C.AB2 = BH.BC

D.A, B, C phần lớn đúng.

Câu 7: đến tam giác ABC gồm và AH là con đường cao xuất phát từ A. Câu như thế nào sau đó là đúng?

*

Câu 8: Tam giác ABC vuông tất cả đường cao AH( H thuộc cạnh BC). Hình chiếu của H bên trên AB là D, bên trên AC là E. Câu nào tiếp sau đây sai:

*

Câu 9: mang đến tam giác ABC nội tiếp con đường tròn đường kính BC=10cm. Cạnh AB=5cm, thì độ dài đường cao AH là:

*

Hướng dẫn giải với đáp án

Câu 1: Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông ABC có:

BC2=AB2+AC2

Thay số ta tính được BC=5.

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC có: AH.BC = AB.AC

*

Vậy chọn đáp án:C

Câu 2: chọn đáp án: A

Câu 3: lựa chọn đáp án: C

Câu 4: chọn đáp án: A

Câu 5: chọn đáp án: D

Câu 6: lựa chọn đáp án: D

Câu 7: lựa chọn đáp án: C vị ∠B + ∠C = 90o suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Câu 8: lựa chọn đáp án: D vì:

+ Đáp án A đúng vị AEHD là hình chữ nhật(vì gồm 3 góc vuông) đề nghị 2 đường chéo AH với DE bởi nhau.

+ Xét tam giác ABC gồm :

*

Vì AH = DE đề xuất đáp án B đúng

Từ kia suy ra chọn đáp án D

Câu 9: vì chưng tam giác ABC nội tiếp con đường tròn 2 lần bán kính BC = 10cm đề xuất tam giác ABC vuông trên A. Áp dụng định lý Py-ta-go ta có: AC2 = BC2 - AB2.

Thay số vào ta tính được: AC= √75cm = 5√3 cm.

Áp dụng hệ thức lượng vào t tam giác vuông ABC có: AH.BC = AB.AC.

Thay số vào ta tính được: AH = 5√3/2 cm

Vậy lựa chọn đáp án: D

Câu 10: cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB:AC=3:4, BC=15cm. Độ lâu năm cạnh AB là:A. 9cmB. 10cmC. 6cmD. 3cm

Câu 11: Hình thang ABCD vuông góc sống A, D. Đường chéo cánh BD vuông góc với sát bên BC biết AD=12cm, BC=20cm. Độ nhiều năm cạnh AB là:

A.256/13cmB.9cm tốt 16cm

C.16cmD.Một tác dụng khác

Câu 12: cho tam giác DEF vuông trên D, tất cả DE=3cm, DF=4cm. Lúc đó độ dài cạnh huyền bằng:A.5cmB. 7cmC.6cmD.10cm

Câu 13: đến tam giác ABC vuông trên A, đường cao AH. Biết AB=5cm, BC=13cm. Khi đó độ nhiều năm đoạn bh bằng:

*

Câu 14: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB=3cm, AC=4cm. Lúc đó độ lâu năm đoạn bh bằng:

*

Hướng dẫn giải với đáp án

Câu 10: gọi độ nhiều năm cạnh AB = 3x thì độ dài cạnh AC = 4x. Áp dụng định lý py-ta-go ta được:

⇔ 100 = 9x2 + 162

⇔ x2 = 100 : 25

⇔ x = 2

Từ kia suy ra AB = 6cm

Câu 11: Kẻ BI ⊥ DC. Khi đó ABID là hình chữ nhật cần AD = BI; AB = DI = 12cm.

Xét tam giác vuông BIC có: IC2=BC2-BI2

Suy ra IC = 16cm.

Xét tam giác vuông BDC .Theo hệ thức lượng ta có: BI2 = DI.IC

Thay số:162 = DI . 13.Tứ kia suy ra DI = 256/13 cm.

Vậy chọn lời giải A

Câu 12: chọn đáp án: A

Câu 13: Áp dụng hệ thức lượng: AB2 = BH.BC

Thay số ta được: 52=BH.13.Suy ra bảo hành = 25/13

Vậy lựa chọn đáp án: A

Câu 14: lựa chọn đáp án: D

Tỉ số lượng giác của góc nhọn

A. Phương pháp giải

1. Định nghĩa các tỉ con số giác của góc nhọn:

1, sin α = AB/AC

2, cos α = BC/AC

3, chảy α = AB/BC

4, cotgα = BC/AB

2. Một trong những tính chất của các tỉ số lượng giác

+ mang đến hai góc α với β phụ nhau. Khi đó:

sin α = cos β

cos α = sin β

tan α = cotg β

cotg α = tan β

+ mang đến góc nhọn α. Ta có:

0 2B ; CH = a sin2 B

b, Suy ra AB2 = BC.BH ; AH2 = BH.HC

Hướng dẫn giải

a, hội chứng minh:

Xét tam giác vuông ABH, ta có:

AH = sinB.AB (1)

Xét tam giác vuông ABC, ta có:

AB = BC.cos B = acos B (2)

Từ (1) với (2) ta có:

AH = a sin B cos B

Tương từ ta có:

+ Xét tam giác vuông ABH: bảo hành = AB.cos B

Xét tam giác vuông ABC: AB = BC.cos B = acos B => bh = a cos2B

+ Xét tam giác vuông ACH: CH = AC.cos C = AC.sin B

Tam giác vuông ABC: AC=BC.sin B=a.sin B => CH = a sin2 B

b, AB2 = a2 cos2B

BC.BH = a.a.cos2B = a2cos2B

=> AB2 = BC.BH

AH2 = a2sin2cos2B

=> AH2 = BH.HC

Bài 2: Giải tam giác trong các trường thích hợp sau( làm tròn mang lại chữ số thập phân đồ vật nhất).(Tức là tìm toàn bộ các yếu hèn tố chưa biết của tam giác ABC)

a, Tam giác ABC vuông trên A, biết AB = 3,5; AC = 4,2.

b, Tam giác ABC vuông tại A, biết ∠B = 50o ; AB = 3,7.

Xem thêm: Lệnh Product Trong Excel Là Gì, Cách Dùng Hàm Nhân (Hàm Product) Trong Excel

Hướng dẫn giải

*
*

Bài 3: Giải tam giác ABC, biết ∠B = 65o; ∠C = 40o cùng BC = 4,2 cm.

Hướng dẫn giải

*

Ta có: ∠A = 180o - (65o + 45o) = 75o

Vẽ bảo hành ⊥ AC

+ Xét tam giác vuông HBC vuông tại H, theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

BH = BC.sin C = 2,7 (cm)

Và CH = BH.cotg C (1)

+ Xét tam giác vuông ABH trên H, theo hệ thức về cạnh và góc vào tam giác vuông ta có: