§8. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNHTóm tắt kiến thứcKhi giải bài toán bằng cách lập phương trình ta lùm theo các bước sau :Bước 1. Lập phương trình :Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn sô";Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn vù các đại lượng đã biết;Lập phương trình biểu thị mô"i liên quan giữa các đại lượng.Bước 2. Giải phương trình.Bước 3. Trả lời : trong các giá trị tìm được của ẩn, chọn cúc giá trị thoả mãn điều kiện ; đó là lời giải của bài toán.Ví dụ❖ Bài toán của ơ-le. Hai nông dân có tất cả là 100 quả trứng. Họ đem ra chợ bán. Số trứng của hai người không bằng nhau, nhưng hai người bán được cùngmột số tiền. Một người nói với người kia : "Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của anh thì tôi bán được 15 đồng". Người kia nói : "Nếu số trứng của tôi bằng. 2số trứng của anh thì tôi bán chỉ dược 6— đồng thôi". Hỏi môi người có bao nhiêu trứng ?❖ Phân tích. Vì số trứng không bằng nhau mà số tiền thu được lại bằng nhau nên tuỳ theo tài bán hàng của mỗi người mà giá bán một quả trứng của mỗi người khác nhau. Vì thế, để biết số tiền thu được của mỗi người, ta cần biết mỗi người bán 1 quả trứng với giá bao nhiêu tiền.> Giải. Gọi số trứng của người thứ nhất là X (quả), X e N*, X 15x.3x = 20(100 - x)(100 - x) o 9x2 = 4(x2 - 200x + 10000)« 5x2 + 800x - 40000 = 0 o X2 + 160x - 8000 = 0.=> A" = 6400 + 8000 = 14400 = 1202 => VÃ7 = 120.=> X, = -80 + 120 = 40, x2 = - 80 - 120 = -200 (loại).Trả lời : Số trứng của người thứ nhất là 40 quả.Số trứng của người thứ hai là 60 quả.c. Hướng dẫn giải bài tập trong sách giáo khoaGiải. Gọi số mà một bạn đã chọn là X và số bạn kia chọn là X + 5.Tích của hai số là x(x + 5). .Theo đầu bài ta có phương trình : x(x + 5) = 150 hay X2 + 5x - 150 = 0.Giải phương trình : A = 25 - 4.(-150) - 625 = 252.=> Xị = 10, x2 = -15.Trả lời : Nếu bạn Minh chọn số 10 thì bạn Lan chọn số 15 hoặc ngược lại.Nếu bạn Minh chọn số -15 thì bạn Lan chọn số -10 hoặc ngược lại.Giải. Gọi lãi suất cho vay là x(%), X > 0.Tiền lãi sau 1 năm là : 2 000 000.-4- hay 20 OOOx (đồng).100Sau 1 năm cả vốn lẫn lãi sẽ là : 2 000 000 + 20 OOOx (đồng).Tiền lãi riêng năm thứ hai phải chịu là :(2 000 000 + 20 000x)—^— hay 20 OOOx + 200x2.100Số tiền sau 2 năm bác Thời phải trả là : 2 000 000 + 40 OOOx + 200x2.Theo đầu bài ta có phương trình :2 000 000 + 40 OOOx + 200x2 = 2 420 000 hay X2 + 200x - 2100 = 0.Giải phương trình : Xị = 10, x2 = -210.Vì X > 0 nên Xọ không thoảmãn điều kiện của ẩn.Trả lời : Lãi suất là 10%.Giải. Gọi vận tốc của xuồng lúc đi là X (km/h), X > 0, thì vận tốc lúc về là X - 5 (km/h).Thời gian đi 120km là :(giờ).■X,120Vì khi đi có nghỉ 1 giờ nên thời gian khi đi hết tất cả là : —— + 1 (giờ).XĐường về dài 120 + 5 = 125 (km).Thời gian về là : 125 (giờ).Theo đầu bài có phương trình :120 Ị ĩ _ 125Giải phương trình :X2 - 5x + 120x - 600 = 125x X2 - lOx - 600 = 0. Ta có: Xj = 30, x2 =-20.Vì X > 0 nên x2 = -20 không thoả mãn điều kiện của ẩn.Trả lời : Vận tốc của xuồng khi đi là 30km/h.Giải. Gọi số phải tìm là X.X2 2hay X2 - X - 2 = 0.Một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị là : VTheo đầu bài ta có phương trình :=> Xị = -T, x2 = 2.Trả lời : Số phải tìm bằng -1 hoặc 2.Giải. Gọi số bé là X, X e N , số tự nhiên kề sau là : X + 1.9 2Tích của hai sô này là : x(x + 1) hay X + X.Tổng của chúng là : X + X + 1 hay 2x + 1.Theo đầu bài ta có phương trình : X2 + X - 2x - 1 = 109 hay X2 - X - 110 = 0. Giải phương trình : A = 1 + 440 = 441, VÃ = 21.Ta có : Xj = 11, x2 = -10.Vì x > 0 nên x2 = -10 không thoả mãn điểu kiện của ẩn.Trả lời : Hai số phải tìm là : 11 và 12.Giải. Gọi chiều rộng của mảnh đất lạ X (m), X > 0.Vì diện tích của mảnh đất bằng 240m nên chiều dài là : —— (m).Nếu tăng chiều rộng 3m.và giảm chiều dài 4m thì mảnh đất mới có chiều rộng240•í 2409.là X + 3 (m), chiều dài là —4 (m) và diện tích là : (x + 3)1 —— 4 I (in ).Theo đầu bài ta có phương trình :(X + 3)= 240.Giải phương trình :Vì X > 0 nên từ phương trình này suy ra :-4x2 - 12x + 240x + 720 = 240xhay:X2 + 3x - 180 = 0.Giải phương trình : A = 32 + 720 = 729, VÃ = 27.Ta có : X> = 12, x2 = -15.Vì X > 0 hên x2 = -15 không thỏa mãn điều kiện của ẩn. Do đó chiều rộng bằng 12m, chiều dài bằng 240 : 12 = 20 (m).77"ủ lời : Mảnh đất có chiều rộng bằng 12m, chiều dài bằng 20m.Giải. Gọi vận tốc của bác Hiệp là X (km/h), X > 0, khi đó vận tốc của cô Liên là X - 3 (km/h).30Thời gian bác Hiệp đi từ làng lên tỉnh là : —(giờ).X.,30Thời gian cô Liên đi từ làng lên tỉnh là :- (giờ).X — 3Vì bác Hiệp đến trước cô Liên nửa giờ ; tức là thời gian đi của bác Hiệp ít hơn30 30 1thời gian cô Liên nửa giờ nên ta có phương trình :Giải phương trình :x(x - 3) = 60x - 60x + 180 hay X2- 3x - 180 = 0. Ta có : A = 9 + 720 = 729, VÃ = 27.Ta có : X> = 15, x2 - -12.Vì X > 0 nên x2 = -12 không thoả mãn điều kiện của ẩn. Trả lời: Vận tốc của bác Hiệp bằng 15km/h.Vận tốc của cô Liên bằng 12km/h.Giải, (h.36) Gọi chiều rộng của miếng tôn lúc đầu là X (dm), X > 0.Chiều dài của nó là 2x (dm).Khi làm thành một cái thùng không nắp thì chiều dài của thùng là 2x -10 (dm), chiều rộng là X -10 (dm), chiều cao là 5 (dm).Dung tích của thùng là :5(2x - 10)(x-10) (dm3).5 dm5 dmHình 36Theo đầu bài ta có phương trình :5(2x - 10)(x - 10) = 1500 hay X2 - 15x - 100 = 0.Giải phương trình : A = 225 + 400 = 625, VÃ = 25.Ta có : X< = 20, x2 =-5 (loại).Trả lời : Miếng tôn có chiều rộng bằng 20 (dm), chiều dài bằng 40 (dm).Giải. Gọi thời gian đội I làm một mình xong việc là X (ngày), X > 0.Vì đội II hoàn thành công việc lâu hơn đội I là 6 ngày nên thời gian một mình đội II làm xong viộc là X + 6 (ngày).s ...?1Môi ngày đội I làm được — (công việc),Xđội II làm được —ỉ— (công việc),X + 6cả hai đội làm được — (công việc).Ta có phương trình : — + —— = —.X X + 64Giải phương trình : x(x + 6) = 4x + 4x + 24 hay X2 - 2x - 24 = 0.=> A" = 1 + 24 = 25 = 52.=> X, = 1 + 5 = 6, x2 = 1 - 5 = -4.Vì X > 0 nên x2 = -4 không thoả mãn điều kiện của ẩn.Trử lời : Một mình đội I làm trong 6 ngày thì xong việc ;Một mình đội II làm trong 12 ngày thì xong việc.Giải. Gọi khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là : X (g/cm3), X > 0 ;khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là : X - 1 (g/cm3).Thể tích của miếng kim loại thứ nhất là : (cm3).X8583Thể tích của miếng kim loại thứ hai là :(cm ).X - 1_x_u858880Theo đấu bài ta có phương trình : - ——— = 10.X -1 XGiải phương trình : 10x(x - 1) = 858x - 880x + 880 hay 5x~ + 6x - 440 = 0. Ta có : A" = 9 + 2200 = 2209, VÃ7 = 47.Vậy X| = 8,8, x2 = -10.Vì X > 0 nên x2 = -10 không thoả mãn điều kiện của ẩn.Trả lời : Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là : 8,8g/cm .""X + 40Nếu đổ thêm 200g nước vào dung dịch thì trọng lượng của dung dịch sẽ là :X + 40 + 200 (g).40Nồng độ của dung dịch bây giờ là :.s&è X + 240Vì nồng độ muối giảm 10% nên ta có phương trình :40 _40_ 10x + 40 x + 240 “ 100"Giải phương trình :(X + 40)(x + 240) = 400(x + 240 - X - 40) hay X2 + 280x - 70400 = 0.Ta có : A" = 19600 + 70400 = 90000, VÃ7 = 300 .Vậy Xj = 160, x2 = - 440.Vì X > 0 nên Xọ = -440 không thoả mãn điều kiện của ẩn.Trả lời : Trước khi đổ thêm nước, trong dung dịch có 160g nước.Giải. Gọi vận tốc thực của canô là X (km/h), X > 3,vận tốc khi xuôi dòng là X + 3 (km/h), vận tốc khi ngược dòng là X - 3 (km/h).Thời gian xuôi dòng là :30Thời gian ngược dòng là :30X + 3 30(giờ).(giờ).Nghỉ lại 40 phút hay — giờ ở B.Theo đầu bài ta có phương trình :—— + ——- + Ạ. = 6.X + 3 X - 33Giải phương trình : 16(x + 3)(x - 3) = 90(x + 3 + X - 3) hay 4x2 - 45x - 36 = 0. Ta có : A = 2025 + 576 = 2601, TÃ = 51.3Vậy X> = 12, x2 = --- (loại).4Trà lời: Vận tốc của canô trong nước yên lặng là 12km/h.Hướng dẫn. (h.37) Giả sử M là điểm chia và AM > MB. Gọi tỉ số cần tìm là X.AMBHình 37Cách 1. Giả sử M là điểm chia đoạn AB và AB có độ dài bằng a.Gọi độ dài của AM = X, 0 0 nên x2 không thoả mãn điều kiện của ẩn. Vậy AM =Trả lời : Tỉ sô" cần tìm làAM T5-1I Ò — AB 2 Cách 2. Gọi tỉ số cần tìm là X, X > 0.Theo giả thiết ta có :AB AMAM MBSuy ra AM = AB.X. (1) MB = AM.X.Nhưng AB = AM + MB = AM + AM.X = AM( 1 + x).(2)Thay biểu thức biểu diễn AB của (2) vào (1) ta được : AM = AM(1 + x)x. Vì AM * 0 nên từ đó suy ra : 1 = (1 + x)x hay X2 + X - 1 = 0.Vậy XjD. Bài tập luyện thêmMột xí nghiệp dự định sản xuất 1920 sản phẩm trong một thời gian. Nhưng khi thực hiện đã cải tiến kĩ thuật, mỗi ngày sản xuất được nhiều hon năng suất quy định là 8 sản phẩm. Do đó hoàn thành kê" hoạch trước thời gian dự định là 1 ngày. Hỏi theo dự định thì mỗi ngày xí nghiệp phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm ?Một xe du lịch đi từ A đến B. Sau đó nửa giờ một xe tải đi từ B đến A. Nó đi được 1 giờ 42 phút thì gặp xẹ du lịch. Hai xe tiếp tục đi, xe du lịch đến B trước "khi xe tải đến A là 2 giờ 10 phút. Tính vân tốc mỗi xe, biết rằng khoảng cách AB bằng 200km.Hai đội công nhân nhận làm một con đường. Nếu cả hai đội cùng làm thì trong 63 ngày xong việc. Khi thực hiện đội I làm xong một nửa con đường thì đội II đến làm tiếp và họ hoàn thành nốt công việc trong thời gian ngắn hơn thời gian đội I đã làm là 16 ngày. Hỏi mỗi đội đã làm việc bao lâu để làm xong con đường ?> Hướng dẫn - Đáp sôGọi số sản phẩm xí nghiệp dự định làm mỗi ngày là X, X 6 N .Thế thì khi thực hiện mỗi ngày sản xuất được : X + 8 (sản phẩm).Thời gian dự định là : ——-ngày.X,, ,,1920,Thời gian thực tê đã làm là : ——- ngày.X + 819201920? •Theo đầu bài, ta có phương trình : — - 1 hay x + 8x - 15360 = 0.X X + 8Giải phương trình : A" = 16 + 15360 = 15376 = 1242.Ta có : X, = -4 + 124 = 120, x2 = -4 - 120 = -124 (loại).Trả lời : Mỗi ngày xí nghiệp dự định sản xuất 120 sản phẩm.Phân tích. Vì xe du lịch đi trước xe tải nửa giờ và đến B trước khi xe tải đến A là 2 giờ 10 phút nên thời gian đi từ A đến B của xe du lịch ít hơn thời gian xetải đi từ B đến A là 1 giờ 40 phút hay giờ. Do đó nếu biểu diễn được thờigian đi hết quãng đường AB của mỗi xe thì ta có thể lập được phương trình.> Giải. Gọi vận tốc của xe tải là X (km/h). 0 120(2000 - 17x) - 2640x = x(2000 - 17x) hay17x2 - 2040x - 264ŨX - 2000x + 240000 = 0 hay 17x2 - 6680x + 240000 = 0.


Bạn đang xem: Bài 8 giải bài toán bằng cách lập phương trình


Xem thêm: Giải Toán Hình Lớp 6 Bài Số Đo Góc Trang 61, 62, 63, 64 Toán Lớp 6 Tập 2

Ta có : A" = 33402 - 17.240000 = 7075600 = 26602....3340 + 2660 60003340-26601717217Vì X> > 200 nên bị loại.Do đó vận tốc của xe tải là 40km/h.J..2000-17.402000-680Vận tốc của xe du lích là—=—-— = 60 (km/h).22 22Trả lời: Vận tốc của xe tải là 40km/h.Vận tốc của xe du lịch là 60km/h.Gọi thời gian đội I đã làm là x ngày, x > 16. Thế thì thời gian đội II đã làm là X - 16 ngày.Vì mỗi đội chỉ làm một nửa con đường nên mỗi ngày đội I làm được : y- (con đường).Mỗi ngày đội II làm được : ——1(con đường).2(x-16)Nếu cùng làm thì cả hai đội mỗi ngày làm được : -3- (con đường).63Do đó có phưong trình : -Ỉ- + —-—1= -^72x 2(x-16)63hay 63(x + X - 16) = 2x(x - 16) hay X2 - 79x + 504 = 0.Ta có : A = 792 - 4.504 = 4225 = 652.Vậy Xị = ——— = 72, x2 = —-— = 7 (loại vì 7