Cho tứ diện (OABC) có cha cạnh (OA, OB, OC) đôi một vuông góc. điện thoại tư vấn (H) là chân con đường vuông góc hạ trường đoản cú (O) tới phương diện phẳng ((ABC)). Minh chứng rằng:

a) H là trực trung ương của tam giác (ABC);

b) (dfrac1OH^2=dfrac1OA^2+dfrac1OB^2+dfrac1OC^2.)


Phương pháp giải - Xem đưa ra tiết

*


Lời giải chi tiết

*

a) (H) là hình chiếu của (O) bên trên mp ((ABC)) yêu cầu (OH ⊥ (ABC) Rightarrow OH ⊥ BC).

Bạn đang xem: Bài 4 trang 105 sgk toán 11

Mặt khác: (OA ⊥ OB), (OA ⊥ OC)

(Rightarrow OA ⊥ (OBC) Rightarrow OA ⊥ BC)

(left{ eginarraylBC ot OH\BC ot OA\OA cap OH = Oendarray ight.) ( Rightarrow BC ot left( OAH ight))

Mà (AH subset left( OAH ight)) (Rightarrow BC ⊥ AH) (1)

Ta có: (left{ eginarraylOB ot OA\OB ot OCendarray ight. Rightarrow OB ot left( OAC ight))

Mà (AC subset left( OAC ight) Rightarrow OB ot AC)

(OH ot left( ABC ight) Rightarrow OH ot AC)

Do đó (left{ eginarraylOB ot AC\OH ot ACendarray ight. Rightarrow AC ot left( OBH ight)) ( Rightarrow AC ot BH) (2)

Từ (1) và (2) ta bao gồm tam giác (ABC) có

(left{ eginarraylAH ot BC\BH ot AC\AH cap bảo hành = Hendarray ight.)

(Rightarrow H) là trực trung khu của tam giác (ABC).

b) Trong phương diện phẳng ((ABC)) gọi (E = AH ∩ BC)

(left{ eginarraylOH ot left( ABC ight)\AE subset left( ABC ight)endarray ight. Rightarrow OH ot AE)

Ta có: (left{ eginarraylOA ot left( OBC ight)\OE subset left( OBC ight)endarray ight. Rightarrow OA ot OE) ( Rightarrow Delta OAE) vuông trên (O) gồm đường cao (OH)

( Rightarrow dfrac1OH^2 = dfrac1OA^2 + dfrac1OE^2) (hệ thức thân cạnh và đường cao vào tam giác vuông (OAE))

Lại có: (left{ eginarraylBC ot left( OAH ight)\OE subset left( OAH ight)endarray ight. Rightarrow BC ot OE)

Mà (OB ot OC) đề nghị (Delta OBC) vuông tại (O) có (OE) là con đường cao.

Xem thêm: Bài 3 Trang 132 Sgk Toán 11 : Bài 2, Tính Các Giới Hạn Sau Lim (X^2


( Rightarrow dfrac1OE^2 = dfrac1OB^2 + dfrac1OC^2)

Vậy (dfrac1OH^2 = dfrac1OA^2 + dfrac1OE^2)( = dfrac1OA^2 + dfrac1OB^2 + dfrac1OC^2) (đpcm).

Nhận xét: Biểu thức này là không ngừng mở rộng của phương pháp tính mặt đường cao thuộc cạnh huyền của tam giác vuông: (dfrac1h^2=dfrac1b^2+dfrac1c^2 .)