Tóm tắt lý thuyết và Giải bài bác 1,2,3 trang 82; Bài 4,5 trang 83 SGK đại số và giải tích 11: cách thức quy hấp thụ toán học. Đây là bài đầu tiên Chương 3 Đại số và giải tích lớp 11: Dãy số – cấp cho số cộng cấp cho số nhân.

Bạn đang xem: Bài 1 trang 82 sgk toán 11

A. Nắm tắt lý thuyết

1. Để chứng minh một mệnh đề P(n) là đúng với tất cả n ∈ N*, ta thường xuyên dùng cách thức quy hấp thụ toán học, được thực hiện theo hai bước như sau:

Bước 1 (bước cơ sở): bình chọn mệnh đề P(n) đúng cùng với n = 1.

Bước 2 ( cách quy nạp): mang thiết mệnh đề P(n) đúng với một vài tự nhiên bất kì n = k, (k ≥ 1) (ta call là giả thiết quy nạp) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Khi đó, theo nguyên lí quy hấp thụ toán học, ta tóm lại mệnh đề P(n) đùng với mọi n ∈ N* 

2. Trong trường đúng theo phải chứng minh một mệnh đề P(n) lf đúng vơi mọi số thoải mái và tự nhiên n ≥ p (p là số từ bỏ nhiên) thì:

– Ở cách 1, ta kiểm tra mệnh đề P(n) đúng cùng với n = p.

Ở cách 2, ta giả thiết mệnh đề P(n) đúng với một số trong những tự nhiên bất cứ n = k, (k ≥ p) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

3. Phép test với một trong những hữu hạn số tự nhiên và thoải mái tuy không phải là chứng tỏ nhưng cho phép ta dự đoán được kết quả. Hiệu quả này chỉ với giá thuyết cùng để minh chứng ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học.

Một số bài toán thường gặp

– chứng minh các mệnh đề toán học liên quan đến lập luận lôgic.

– chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức.

– Dự đoán tác dụng và triệu chứng minh.

B. Giải bài xích tập sách giáo khoa bài phương thức quy hấp thụ toán học – Sách giáo khoa đại số giải tích lớp 11 trang 82,83

Bài 1. Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta có đẳng thức:

*

a) cùng với n = 1, vế trái chỉ có một vài hạng là 2, vế bắt buộc bằng(3+1) / 2 = 2

Vậy VT = VP hệ thức a) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng Sn.

Giả sử đẳng thức a) đúng với n = k ≥ 1, tức là

Ta phải chứng minh rằng a) cũng như với n = k + 1, nghĩa là bắt buộc chứng minh

*

Thật vậy, từ trả thiết quy nạp, ta có: 

*
*

(điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức a) đúng với mọi n ∈ N*

b) với n = 1, vế trái bởi 1/2, vế phải bằng 1/2, vì thế hệ thức đúng.

Đặt vế trái bằng Sn.

Giả sử hệ thức b) đúng với n = k ≥ 1, tức là

*

Ta phải minh chứng

*

Thật vậy, từ đưa thiết quy nạp, ta có:

*

(điều đề xuất chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy hấp thụ toán học, hệ thức b) đúng với mọi n ∈ N*

c) với n = 1, vế trái bằng 1, vế phải bằng 1(1+1)(2+1) / 6 = 1 buộc phải hệ thức c) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng Sn.


Giả sử hệ thức c) đúng cùng với n = k ≥ 1, tức là

*

Ta nên chứng minh

*

Thật vậy, từ trả thiết quy nạp ta có:

*
(đpcm)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) đúng với tất cả n ∈ N*

Bài 2. Chứng minh rằng cùng với n ε N* ta luôn luôn có:

a) n3 + 3n2 + 5n phân tách hết mang lại 3;

b) 4n + 15n – 1 chia hết mang đến 9;

c) n3 + 11n chia hết cho 6.

Đáp án: a) Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n

Với n = 1 thì S1 = 9 chia hết đến 3

Giả sử với n = k ≥ 1, ta có Sk = (k3 + 3k2 + 5k) ⋮ 3

Ta phải chứng tỏ rằng Sk+1 ⋮ 3

Thật vậy Sk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)

= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5

= k3 + 3k2 + 5k + 3k2 + 9k + 9

hay Sk+1 = Sk + 3(k2 + 3k + 3)

Theo đưa thiết quy nạp thì Sk⋮3, còn mặt khác 3(k2 + 3k + 3) ⋮3 nên Sk+1 ⋮ 3.

Vậy (n3 + 3n2 + 5n) ⋮ 3 với tất cả n ∈ N* .

b) Đặt Sn = 4n + 15n – 1


Với n = 1, S1 = 41 + 15.1 – 1 = 18 nên S1 ⋮9

Giả sử cùng với n = k ≥ 1 thì Sk= 4k + 15k – 1 phân chia hết mang đến 9.

Ta buộc phải chứng minh Sk+1 ⋮ 9.

Thật vậy, ta có: Sk+1 = 4k + 1 + 15(k + 1) – 1

= 4(4k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4Sk – 9(5k – 2)

Theo giả thiết quy hấp thụ thì Sk ⋮ 9 đề nghị 4S1 ⋮ 9, mặt khác 9(5k – 2) ⋮ 9, nên Sk+1 ⋮ 9

Vậy (4n + 15n – 1) ⋮ 9 cùng với mọi n ∈ N*

c) Đặt Sn = n3 + 11n

Với n = 1, ta có S1 = 13 + 11n = 12 nên S1 ⋮ 6

Giả sử cùng với n = k ≥ 1 ,ta có Sk = k3 + 11k ⋮ 6

Ta nên chứng minh Sk+1 ⋮ 6

Thật vậy, ta có Sk+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k3 + 3k + 3k + 1 + 11k + 11

= ( k3 + 11k) + 3(k2 + k + 4) = Sk + 3(k2 + k + 4)

THeo đưa thiết quy hấp thụ thì Sk ⋮ 6, phương diện khác k2 + k + 4 = k(k + 1) + một là số chẵn cần 3(k2 + k + 4) ⋮ 6, vì thế Sk+1 ⋮ 6

Vậy n3 + 11n chia hết mang lại 6 với mọi n ∈ N*

Bài 3 Chứng minh rằng với mọi số thoải mái và tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:

a) 3n > 3n + 1; b) 2n + 1 > 2n + 3

Đáp án: a) dễ thấy bất đẳng thức đúng với n = 2

Giả sử bất đẳng thức đúng cùng với n = k ≥ 2, tức là

3k > 3k + 1 (1)

Nhân nhì vế của (1) vơi 3, ta được:

3k + 1 > 9k + 3 ⇔ 3k + 1 > 3k + 4 + 6k -1.

Vì 6k – 1 > 0 nên

3k + 1 > 3k + 4 hay 3k + 1 > 3(k + 1) + 1.

tức là bất đẳng thức đúng cùng với n = k + 1.

Vậy 3n > 3n + 1 với mọi số thoải mái và tự nhiên n ≥ 2.

b) với n = 2 thì vế trái bởi 8, vế phải bởi 7. Vậy bất đẳng thức đúng cùng với n = 2

Giả sử bất đẳng thức đúng cùng với n = k ≥ 2, tức là

2k + 1 > 2k + 3 (2)

Ta phải minh chứng nó cũng đúng với n= k + 1, nghĩa là đề xuất chứng minh

2k + 2 > 2(k + 1) + 3 2k + 2 > 2k + 5

Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) cùng với 2, ta được:

2k + 2 > 4k + 6 ⇔ 2k + 2 > 2k +5 + 2k + 1.

Vì 2k + 1> 0 nên 2k + 2 > 2k + 5

Vậy 2n + 1 > 2n + 3 với đa số số thoải mái và tự nhiên n ≥ 2.

Bài 4. Cho tổng  với n ∈ N* 

a) Tính S1, S2, S3.

b) dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng tỏ bằng quy nạp.

Giải: a) Ta có:

b) từ bỏ câu a) ta dự đoán Sn=n/(n+1) (1), cùng với mọi n ∈ N* .

Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp

Khi n = 1, vế trái là S1 =1/2, vế phải bởi 1/(1+1)=1/2. Vậy đẳng thức (1) đúng.

Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = ≥ 1, tức là Ta phải chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1, tức là phải minh chứng Ta tất cả

tức là đẳng thức (1) cũng giống với n = k + 1.

Vậy đẳng thức (1) sẽ được bệnh minh.

Bài 5 trang 83. Chứng minh rằng số đường chéo cánh của một đa giác lồi n cạnh là

Giải: Ta minh chứng khẳng định đúng với đa số n ∈ N* , n ≥ 4.

Với n = 4, ta tất cả tứ giác vì thế nó có hai tuyến phố chéo.

Mặt khác cầm cố n = 4 vào công thức, ta có số đường chéo của tứ giác theo cách làm là: 4(4-3)/2 = 2

Vậy xác định là đúng với n= 4.

Giả sử xác minh là đúng với n = k ≥ 4, có nghĩa là đa giác lồi k cạnh có số đường chéo cánh là k(k – 3)/2


 Ta phải chứng minh khẳng định đúng cùng với n = k + 1. Tức là phải minh chứng đa giác lồi k + 1cạnh tất cả số đường chéo là Xét đa giác lồi k + 1 cạnh
Nối A1 cùng Ak, ta được nhiều giác k cạnh A1A2…Ak gồm k(k-3)/2 đường chéo (giả thiết quy nạp). Nối Ak+1 với các đỉnh A2, A3, …, Ak-1, ta được thêm k -2 đường chéo, hình như A1Ak  cũng là một đường chéo.

Xem thêm: Soạn Đại Số 10 Bài 2: Hàm Số Y=Ax+B, Lý Thuyết Hàm Số Y = Ax + B


Vậy số đường chéo cánh của nhiều giác k + 1 cạnh là

Như vậy, xác định cũng đúng với nhiều giác k + 1 cạnh. Vậy việc đã được chứng minh.