Hướng dẫn giải bài §3. Đạo hàm của hàm số lượng giác, Chương V. Đạo hàm, sách giáo khoa Đại số cùng Giải tích 11. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 168 169 sgk Đại số và Giải tích 11 bao gồm tổng hòa hợp công thức, lý thuyết, phương thức giải bài tập đại số và giải tích có trong SGK sẽ giúp đỡ các em học sinh học xuất sắc môn toán lớp 11.

Bạn đang xem: Bài 1 trang 168 toán 11


Lý thuyết

1. Đạo hàm của hàm số $y = sinx$

Hàm số (y=sin x) bao gồm đạo hàm tại phần lớn (x in mathbbR) với (left( sin x ight)’ = cos x.)

Nếu (y=sin u) với (u=u(x)) thì ((sin u)’=u’. cos u.)

2. Đạo hàm của hàm số $y = cosx$

Hàm số (y=cos x) có đạo hàm tại phần đa (x in mathbbR) với (left( cos x ight)’ =-sin x.)

Nếu (y=cos u) với (u=u(x)) thì ((cos u)’=-u’. sin u.)

3. Đạo hàm của hàm số $y = tanx$

Hàm số (y= an x) có đạo hàm tại hầu như (x e fracpi 2 + kpi ,k in mathbbR) cùng (left( an x ight)’ = frac1cos ^2x.)

Nếu (y=tan u) và (u=u(x)) thì (left( an u ight)’ = fracu’cos ^2u.)

4. Đạo hàm của hàm số $y = cotx$

Hàm số (y=cot x) bao gồm đạo hàm tại gần như (x e kpi ,k in mathbbR) và (left( cot x ight)’ = – frac1sin ^2x.)

Nếu (y=cot u) với (u=u(x)) thì (left( cot x ight)’ = – fracu’sin ^2u).

Bảng đạo hàm:


*

Dưới đấy là phần phía dẫn trả lời các thắc mắc và bài bác tập trong phần hoạt động vui chơi của học sinh sgk Đại số và Giải tích 11.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 163 sgk Đại số cùng Giải tích 11


Tính (sin 0,01 over 0,01;,,sin ,0,001 over 0,001) bằng máy tính bỏ túi.

Trả lời:

Ta có:

(eqalign& sin 0,01 over 0,01 approx 0,999983 cr& sin ,0,001 over 0,001 approx 0,99999983 cr )

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 165 sgk Đại số và Giải tích 11

Tính đạo hàm của hàm số: (y = sin (pi over 2 – x))

Trả lời:

$y’ = (sin⁡ (pi over 2 – x) )’$


Đặt $u = pi over 2 – x$ thì $u’ = -1$

⇒ $y’ = u’ cos⁡u = -1 cos⁡(pi over 2 – x) = -sin⁡x$

(do $cos⁡(pi over 2 – x) = sin⁡x$ ).

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 166 sgk Đại số và Giải tích 11

Tính đạo hàm của hàm số:

(f(x) = sin ,x over cos ,x,(x e pi over 2 + kpi ;,k in Z))

Trả lời:


Ta có:

(eqalign& f"(x) = (sin ,x over cos ,x) ‘= (sin ,x)’cos ,x – sin ,x.(cos ,x)’ over cos ,^2x cr& = cos ,^2x + sin ^2x over cos ,^2x = 1 over cos ,^2x cr )

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 167 sgk Đại số với Giải tích 11

Tính đạo hàm của hàm số:

$y = rã (pi over 2 – x)$ với $x ≠ kπ, k ∈ Z$

Trả lời:

Đặt $u = pi over 2 – x$ thì $u’ = -1$


⇒ $y’ = u’ over cos ^2u = – 1 over cos ^2u $

$= – 1 over cos ^2(pi over 2 – x) = – 1 over sin ^2x$

(do $cos⁡(pi over 2 – x) = sin⁡x$)

Dưới đó là phần hướng dẫn giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 168 169 sgk Đại số cùng Giải tích 11. Chúng ta hãy phát âm kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

welcome-petersburg.com reviews với chúng ta đầy đủ phương thức giải bài xích tập đại số cùng giải tích 11 kèm bài giải đưa ra tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 168 169 sgk Đại số và Giải tích 11 của bài bác §3. Đạo hàm của hàm số lượng giác trong Chương V. Đạo hàm cho chúng ta tham khảo. Nội dung cụ thể bài giải từng bài bác tập chúng ta xem bên dưới đây:

*
Giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 168 169 sgk Đại số cùng Giải tích 11

1. Giải bài 1 trang 168 sgk Đại số và Giải tích 11

Tìm đạo hàm của những hàm số sau:


a) (y = fracx-15x-2)

b) (y = frac2x+37-3x)

c) (y = fracx^2+2x+33-4x)

d) (y = fracx^2+7x+3x^2-3x)

Bài giải:

a) (y = fracx-15x-2)

( y’=fracleft ( x-1 ight )’.left ( 5x-2 ight )-left ( x-1 ight ).left ( 5x-2 ight )’left ( 5x-2 ight )^2)

(y’ =frac(5x-2)-left ( x-1 ight ).5left ( 5x-2 ight )^2)

(y’ =frac3left ( 5x-2 ight )^2).

b) (y = frac2x+37-3x)

( y’=fracleft ( 2x+3 ight )’.left ( 7-3x ight )-left ( 2x+3 ight ).left ( 7-3x ight )’left ( 7-3x ight )^2)

(y’= frac2left ( 7-3x ight )-left ( 2x+3 ight ).left ( -3 ight )left ( 7-3x ight )^2)

(y’= frac23left ( 7-3x ight )^2).

c) (y = fracx^2+2x+33-4x)

( y’=fracleft ( x^2+2x+3 ight )’.left ( 3-4x ight )-left ( x^2 +2x+3 ight ).left ( 3-4x ight )’left ( 3-4x ight )^2)

(y’= fracleft ( 2x+2 ight ).left ( 3-4x ight )-left ( x^2+2x+3 ight ).(-4)(3-4x)^2)

(y’ =frac-2(2x^2-3x-9)(3-4x)^2).

d) (y = fracx^2+7x+3x^2-3x)

( y’=frac(x^2+7x+3)’.(x^2-3x)-(x^2+7x+3).(x^2-3x)’(x^2-3x)^2)

(y’ =frac(2x-7).(x^2-3x)-(x^2+7x+3).(2x-3)(x^2-3x)^2)

(y’=frac-10x^2-6x+9(x^2-3x)^2).

2. Giải bài xích 2 trang 168 sgk Đại số với Giải tích 11

Giải các bất phương trình sau:

a) (y"0) với (y = frac2x-1x^2+x+4)

Bài giải:

a) (y"x le – 3 hfill cr} ight. hfill cr} ight.)

(Leftrightarrow left< matrixx ge 1 hfill cr x le – 3 hfill cr ight.)

(Rightarrow x∈ (-∞;-3> ∪ <1;+∞))

Vậy (x∈ (-∞;-3> ∪ <1;+∞))

c) (y’>0) cùng với (y = frac2x-1x^2+x+4)

Ta có (y’=frac(2x-1)’.(x^2+x+4)-(2x-1).(x^2+x+4)’(x^2+x+4)=frac-2x^2+2x+9(x^2+x+4)).

Vì (x^2+x +4 =left ( x+frac12 ight )^2+ frac154 >0), cùng với (∀ x ∈ mathbb R)

(Rightarrow y’>0 Leftrightarrow frac-2x^2+2x+9(x^2+x+4) >0)

(Leftrightarrow -2x^2+2x +9>0 )

(Leftrightarrow frac1-sqrt192

3. Giải bài bác 3 trang 169 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) (y = 5sinx -3cosx)

b) ( y=fracsinx+cosxsinx-cosx)

c) (y = x cotx)

d) (y = fracsinxx+fracxsinx)

e) (y = sqrt(1 +2tan x))

f) (y = sinsqrt(1 +x^2))

Bài giải:

a) (y = 5sinx -3cosx)

(y’=5cosx-3(-sinx)=5cosx+3sinx)

b) ( y=fracsinx+cosxsinx-cosx)

(y’=(sinx+cos x)’.(sin x- cos x)-(sin x+cos x)(sin x-cos x)’over(sin x-cos x)^2)

(y’= (cos x-sin x)(sin x -cos x)-(sin x+ cos x)(cosx+sinx)over(sin x-cosx )^2)

(y’ =-2over(sin x-cos x)^2)

c) (y = x cotx)

(y’ = cotx +x. left ( -frac1sin^2x ight )= cotx – fracxsin^2x).

d) (y = fracsinxx+ fracxsinx)

( y’=frac(sin x)’.x-sin x.(x)’x^2+frac(x)’.sin x-x(sin x)’sin^2x)

(y’= fracx.cosx-sinxx^2+fracsin x-x.cosxsin^2x)

(y’= fracx.cosx-sinxx^2-fracx.cosx-sin xsin^2x)

(y’ = (x. Cosx -sinx) left ( frac1x^2-frac1sin^2x ight )).

e) (y = sqrt(1 +2tan x))

( y’=frac(1+2tanx)’2sqrt1+2tanx)

(y’= fracfrac2cos^2x2sqrt1+2tanx)

(y’=frac1cos^2xsqrt1+2tanx).

f) (y = sinsqrt(1 +x^2))

(y’ = (sqrt1+x^2)’ cossqrt(1+x^2) )

(y’= frac(1+x^2)’2sqrt1+x^2cossqrt(1+x^2) )

(y’= frac2x2sqrt1+x^2cossqrt(1+x^2) )

(y’= fracxsqrt1+x^2cossqrt(1+x^2))

4. Giải bài 4 trang 169 sgk Đại số với Giải tích 11

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) (y = left( 9 – 2x ight)(2x^3 – 9x^2 + 1))

b) (y = left ( 6sqrtx -frac1x^2 ight )(7x -3))

c) (y = (x -2)sqrt(x^2+1))

d) (y = tan^2x +cotx^2)

e) (y = cosfracx1+x)

Bài giải:

a) (y = left( 9 – 2x ight)(2x^3 – 9x^2 + 1))

(y’ = left( 9 – 2x ight)"(2x^3 – 9x^2 + 1) + left( 9 – 2x ight)(2x^3 – 9x^2 + 1)’)

(y’= – 2(2x^3 – 9x^2 + 1) + left( 9 – 2x ight)(6x^2 – 18x) )

(y’=-4x^3+18x^2-2+54x^2-162x-12x^3+36x^2)

(y’= – 16x^3 + 108x^2 – 162x – 2).

b) (y = left ( 6sqrtx -frac1x^2 ight )(7x -3))

(y’ = left ( 6sqrtx -frac1x^2 ight )’.(7x -3) +left ( 6sqrtx -frac1x^2 ight )(7x -3)’)

(y’= left ( frac3sqrtx +frac2x^3 ight )(7x -3) +7 left ( 6sqrtx -frac1x^2 ight ))

(y’=63sqrtx-frac9sqrtx+frac7x^2-frac6x^3)

c) (y = (x -2)sqrt(x^2+1))

(y’ = (x -2)’sqrt(x^2+1) + (x -2)sqrt (x^2+1)’ )

(y’= sqrt (x^2+1) + (x -2)fracleft ( x^2+1 ight )’2sqrtx^2+1)

(y’= sqrt (x^2+1) + (x -2) frac2x2sqrtx^2+1)

(y’ = sqrt (x^2+1) + fracx^2-2xsqrtx^2+1)

(y’= frac2x^2-2x+1sqrtx^2+1).

d) (y = tan^2x +cotx^2)

(y’ = 2tanx.(tanx)’ – (x^2)’ left ( -frac1sin^2x^2 ight )= frac2tanxcos^2x+frac2xsin^2x^2)

e) (y = cosfracx1+x)

(y’ = left ( frac11+x ight )’sin fracx1+x= -frac1(1+x)^2sin fracx1+x).

5. Giải bài 5 trang 169 sgk Đại số với Giải tích 11

Tính ( fracf"(1)varphi ‘(1)), hiểu được (f(x) = x^2) với (φ(x) = 4x +sin fracpi x2)

Bài giải:

Ta có:

(f"(x) = 2xRightarrow f"(1) = 2)

(φ"(x) = 4 + left ( fracpi x2 ight )’. Cos fracpi x2 = 4 + fracpi 2. Cos fracpi x2)

(Rightarrow φ"(1) = 4).

(Rightarrow fracf"(1)varphi ‘(1) = frac24= frac12)

6. Giải bài bác 6 trang 169 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Chứng minh rằng các hàm số sau gồm đạo hàm không phụ thuộc (x):

a) (sin^6x + cos^6x + 3sin^2x.cos^2x)

b) (cos ^2left ( fracpi 3-x ight )+ cos ^2 left ( fracpi 3+x ight ) + cos ^2left ( frac2pi 3-x ight )+cos ^2 left ( frac2pi 3+x ight )-2sin^2x)

Bài giải:

a) (sin^6x + cos^6x + 3sin^2x.cos^2x)

Ta có:

((3sin^2x.cos^2x)’=3.(sin^2x)’.cos^2x+3.sin^2x(cos^2x)’)

(=3.cos^2x.2.sin x (sin x)’+3.sin^2x.2.cos x.(cosx)’)

(=6.cos^2x.sin x.cos x+6.sin^2x.cos x.(-sin x))

(=6.cos^3x.sin x-6.sin^3x.cos x)

(y’ = 6sin ^5x.cos x – 6cos ^5x.sin x + 6sin x.cos^3x – 6sin ^3x.cos x)

(= 6sin ^3x.cos x(sin^2 x – 1) + 6sin x.cos^3 x(1 – cos ^2x))

(= 6sin ^3x.cos x.cos^2x + 6sin x.cos^3 x.sin^2x)

(= – 6sin ^3x.cos^3 x + 6sin ^3x.cos^3 x = 0).

Vậy (y’ = 0)với hầu như (x),tức là (y’) không phụ thuộc vào vào (x).

b) (cos ^2left ( fracpi 3-x ight )+ cos ^2 left ( fracpi 3+x ight ) + cos ^2left ( frac2pi 3-x ight )+cos ^2 left ( frac2pi 3+x ight )-2sin^2x)

(y’ = 2cos left ( fracpi 3-x ight ).sin left ( fracpi 3-x ight ))

( -2cos left ( fracpi 3+x ight ).sin left ( fracpi 3+x ight ))

( +2cos left ( frac2 pi 3-x ight ).sin left ( frac2 pi 3-x ight ))

( -2cos left ( frac2 pi 3+x ight ).sin left ( frac2 pi 3+x ight )-4sin,xcos,x)

Áp dụng phương pháp tính đạo hàm của hàm số thích hợp ta được

(y’ =sin left ( frac2pi 3-2x ight ) – sin left ( frac2pi 3+2x ight )+ sin left ( frac4pi 3-2x ight ) – sin left ( frac4pi 3+2x ight )- 2sin 2x )

(= -2cos frac2pi 3.sin,2x – 2cos frac4pi 3. sin 2x – 2sin 2x )

(= sin 2x + sin 2x – 2sin 2x )

(=sin,2x(1+1-2)=0)

Vậy (y’ = 0) với tất cả (x), cho nên (y’) không nhờ vào vào (x).

7. Giải bài bác 7 trang 169 sgk Đại số và Giải tích 11

Giải phương trình (f"(x) = 0), biết rằng:

a) (f(x) = 3cos x + 4sin x + 5x)

b) (f(x) = 1 – sin(π + x) + 2cos left ( frac2pi +x2 ight ))

Bài giải:

a) (f(x) = 3cos x + 4sin x + 5x)

(f"(x) = – 3sin x + 4cos x + 5).

(Rightarrow f"(x) = 0 Leftrightarrow – 3sin x + 4cos x + 5 = 0)

(Leftrightarrow3 sin x – 4cos x = 5)

(Leftrightarrow frac35sin x – frac45 cos x = 1).(*)

Đặt (cos alpha = frac35,left(alpha ∈ left ( 0;fracpi 2 ight ) ight ) Rightarrow sin alpha = frac45)

Ta có:

(*)(Leftrightarrow sin x.cos alpha – cos x.sin alpha = 1)

(Leftrightarrow sin(x – alpha ) = 1)

(Leftrightarrow x – alpha = fracpi 2 + k2π)

(Leftrightarrow x = alpha + fracpi 2 + k2π, k ∈ mathbb Z).

Vậy (x = alpha + fracpi 2 + k2π, k ∈ mathbb Z)

b) (f(x) = 1 – sin(π + x) + 2cos left ( frac2pi +x2 ight ))

(f"(x) = – cos(π + x) – sin left (pi + fracx2 ight ) = cos x + sin fracx 2)

(f"(x) = 0 Leftrightarrow cos x + sin fracx 2 = 0 )

(Leftrightarrow sin fracx 2 = – cosx)

(Leftrightarrow sin fracx 2 = sin left (x-fracpi2 ight ))

(Leftrightarrow left< matrixfracx 2= x-fracpi2+ k2π hfill cr fracx 2 = π – x+fracpi2+ k2π hfill cr ight.)

(Leftrightarrow left< matrixx = π – k4π hfill cr x = π + k frac4pi 3 hfill cr ight.(k ∈ mathbb Z))

Vậy (x = π – k4π)hoặc (x = π + k frac4pi 3(k ∈ mathbb Z))

8. Giải bài xích 8 trang 169 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Giải bất phương trình (f"(x) > g"(x)), biết rằng:

a) (f(x) = x^3+ x – sqrt2,g(x) = 3x^2+ x + sqrt2)

b) (f(x) = 2x^3- x^2+ sqrt3,g(x) = x^3+ fracx^22 – sqrt 3)

Bài giải:

a) (f(x) = x^3+ x – sqrt2,g(x) = 3x^2+ x + sqrt2)

Ta có (f"(x) = 3x^2+ 1), (g"(x) = 6x + 1).

(Rightarrow f"(x) > g"(x) )

(Rightarrow 3x^2+ 1 > 6x + 1 )

(Leftrightarrow 3x^2- 6x >0)

(Leftrightarrow 3x(x – 2) > 0 )

(Leftrightarrow x > 2)hoặc (x > 0)

Vậy (x ∈ (-∞;0) ∪ (2;+∞)).

Xem thêm: Toán Lớp 10: Hệ Thống & Tổng Hợp Các Công Thức Toán Lớp 10 Quan Trọng

b) (f(x) = 2x^3- x^2+ sqrt3,g(x) = x^3+ fracx^22 – sqrt 3)

Ta tất cả (f"(x) = 6x^2- 2x), (g"(x) = 3x^2+ x).

(Rightarrow f"(x) > g"(x))

(Leftrightarrow 6x^2- 2x > 3x^2+ x )

(Leftrightarrow 3x^2- 3x > 0)

(Leftrightarrow 3x(x – 1) > 0 )

(Leftrightarrow x > 1)hoặc (x

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc các bạn làm bài xuất sắc cùng giải bài bác tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 trang 168 169 sgk Đại số với Giải tích 11!