Hướng dẫn giải bài xích §2. Quy tắc tính đạo hàm, Chương V. Đạo hàm, sách giáo khoa Đại số với Giải tích 11. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 trang 162 163 sgk Đại số cùng Giải tích 11 bao hàm tổng hòa hợp công thức, lý thuyết, phương thức giải bài bác tập đại số cùng giải tích tất cả trong SGK sẽ giúp đỡ các em học sinh học giỏi môn toán lớp 11.

Bạn đang xem: Bài 1 trang 162 sgk toán 11

Lý thuyết

1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

– Định lí 1:

Hàm số (y = x^n(n in mathbbN,n > 1)) gồm đạo hàm với đa số (x inmathbbR) và: (left( x^n ight)’ = nx^n – 1.)

Nhận xét:

a) Đạo hàm của hàm hằng bởi 0: (c)’=0.

b) Đạo hàm của hàm số (y= x) bởi 1:(x)’=1.

– Định lí 2:

Hàm số (y= sqrt x) gồm đạo hàm với mọi x dương và: (left( sqrt x ight)’ = frac12sqrt x .)

2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

– Định lí 3:

Giả sử (u = uleft( x ight)) với (v = vleft( x ight)) là các hàm số gồm đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng chừng xác định. Ta có:

(left( u + v ight)’ = u’ + v’)

(left( u – v ight)’ = u’ – v’)

(left( u.v ight)’ = u’.v + u.v’)

(left ( fracuv ight )’=fracu’v-uv’v^2,(v(x) e 0))

Mở rộng:

((u_1 + u_2 + … + u_n)’ = u_1’ + u_2’ + … + u_n’.)

– Hệ trái 1: Nếu k là một trong hằng số thì: ((ku)’=ku’.)

– Hệ quả 2:

(left( frac1v ight)’ = – frac – v’v^2) , ((v(x) e 0))

((u.v. mw)’ = u’.v. mw + u.v’. mw + u.v. mw’)

3. Đạo hàm của hàm hợp

– Định lí 4:

Cho hàm số (y=f(u)) cùng với (u=u(x)) thì ta có: (y’_u=y’_u.u’_x.)

– Hệ quả:

((u^n) = n.u^n – 1.u’,n in mathbbN^*.)

(left( sqrt u ight)’ = fracu’2sqrt u .)

– Bảng tóm tắt:

*

Dưới đây là phần phía dẫn vấn đáp các thắc mắc và bài tập trong phần hoạt động vui chơi của học sinh sgk Đại số cùng Giải tích 11.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 157 sgk Đại số và Giải tích 11

Dùng quan niệm tính đạo hàm của hàm số $y = x^3$ trên điểm $x$ tùy ý.

Dự đoán đạo hàm của hàm số (y = x^100) trên điểm $x$.

Trả lời:

Giả sử $Δx$ là số gia của đối số tại $x_0$ bất kỳ. Ta có:

(eqalign& Delta y = f(x_0 + Delta x) – f(x_0) cr& = (x_0 + Delta x)^3 – x_0^3 = 3x_0^2Delta x + 3x_0(Delta x)^2 + (Delta x)^3 cr& Rightarrow y"(x_0) = mathop lim limits_Delta x o 0 Delta y over Delta x = mathop lim limits_Delta x o 0 (3x_0^2 + 3x_0Delta x + (Delta x)^2) = 3x_0^2 cr )

Dự đoán đạo hàm của (y = x^100) tại điểm (x) là (y = 100x^99)

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 158 sgk Đại số với Giải tích 11

Chứng minh xác định trong dìm xét trên.

a) Đạo hàm của hàm hằng bằng $0: (c)’ = 0.$

b) Đạo hàm của hàm số $y = x$ bằng $1: (x)’ = 1.$

Trả lời:

a) Hàm hằng $⇒ Δy = 0$

( Rightarrow mathop lim limits_Delta x o 0 Delta y over Delta x = 0)

b) Theo định lí 1

$y = x$ tốt y = x1 ⇒ y’= (x1)’= 1. X1-1 = 1. Xo = 1.1 =1

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 158 sgk Đại số và Giải tích 11

Có thể vấn đáp ngay được không, trường hợp yêu cầu tính đạo hàm của hàm số $f(x) = √x$ trên $x = – 3; x = 4$?

Trả lời:

$x = – 3

4. Trả lời thắc mắc 4 trang 159 sgk Đại số và Giải tích 11

Áp dụng những công thức trong Định lí 3, hãy tính đạo hàm của các hàm số

(y = 5x^3 – 2x^5); (y = – x^3sqrt x )

Trả lời:

Hàm số: y = 5x3 – 2x5;

⇒ y’ = (5x3 – 2x5 )’ = (5x3 )’ – (2x5 )’

= (5′.x3 + 5(x3 )’ )-(2′.x5 + 2.(x5 )’)

= (0.x3 + 5.3x2 )-(0.x5 + 2.5x4 )

= (0 + 15x2 )-(0 + 10x4 )

= 15x2 – 10x4

Hàm số: y = -x3 √x.

⇒ y’ = (-x3√x)’

= (-x3 )’.√x + (-x3 ).(√x)’

= -3x2.√x – x3 .1/(2√x)

5. Trả lời thắc mắc 5 trang 160 sgk Đại số và Giải tích 11

Hãy chứng minh các bí quyết trên và lấy lấy ví dụ minh họa.

*

Trả lời:

Nếu (k) là một hằng số thì ( (ku)’ = ku’)

Thật vậy, ta có: ((ku)’ = k’u + ku’ = 0.u + ku’ = ku’) (do đạo hàm của hàm hằng bằng (0))

Ví dụ: (left( 3x^2 ight)’ = 3.left( x^2 ight)’ = 3.2x = 6x)

(displaystyle left( 1 over v ight)’ = -v’ over v^2,(v = v(x) e 0))

Thật vậy, ta có:

(displaystyle left( 1 over v ight)’ = 1’v – 1.v’ over v^2, = 0.v – v’ over v^2 = – v’ over v^2)

Ví dụ: (left( dfrac12x + 1 ight)’ = – dfracleft( 2x + 1 ight)’left( 2x + 1 ight)^2 = – dfrac2left( 2x + 1 ight)^2)

6. Trả lời thắc mắc 6 trang 161 sgk Đại số với Giải tích 11

Hàm số (y = sqrt x^2 + x + 1 ) là hàm hòa hợp của hàm số nào ?

Trả lời:

Hàm số (y = sqrt x^2 + x + 1 ) là hàm đúng theo của hàm số (y = sqrt u ,( với u = x^2 + x + 1))

Dưới đây là phần khuyên bảo giải bài 1 2 3 4 5 trang 162 163 sgk Đại số và Giải tích 11. Chúng ta hãy gọi kỹ đầu bài trước lúc giải nhé!

Bài tập

welcome-petersburg.com ra mắt với chúng ta đầy đủ phương thức giải bài xích tập đại số và giải tích 11 kèm bài bác giải đưa ra tiết bài 1 2 3 4 5 trang 162 163 sgk Đại số và Giải tích 11 của bài bác §2. Quy tắc tính đạo hàm trong Chương V. Đạo hàm cho các bạn tham khảo. Nội dung cụ thể bài giải từng bài xích tập chúng ta xem dưới đây:

*
Giải bài xích 1 2 3 4 5 trang 162 163 sgk Đại số và Giải tích 11

1. Giải bài bác 1 trang 162 sgk Đại số với Giải tích 11

Bằng định nghĩa, tìm kiếm đạo hàm của những hàm số sau:

a) (y = 7 + x – x^2) tại (x_0 = 1);

b) (y = x^3- 2x + 1) tại (x_0= 2).

Bài giải:

a) (y = 7 + x – x^2) trên (x_0 = 1)

Giả sử (∆x)là số gia của đối số tại (x_0= 1).

Ta có: (∆y = f(1 + ∆x) – f(1) )

(= 7 + (1 + ∆x) – (1 + ∆x)^2- (7 + 1 – 1^2) )

(= -(∆x)^2- ∆x)

( fracDelta yDelta x =frac-(∆x)^2- ∆x∆x= – ∆x – 1)

(mathop limlimits_Delta x ightarrow 0 fracDelta yDelta x=mathop limlimits_Delta x ightarrow 0 frac- (∆x)^2 – ∆xDelta x)

(= mathoplimlimits_Delta x ightarrow 0 (- ∆x – 1) = -1).

Vậy (f"(1) = -1).

b) (y = x^3- 2x + 1) tại (x_0= 2)

Giả sử (∆x) là số gia của số đối tại (x_0= 2).

Ta có: (∆y = f(2 + ∆x) – f(2) )

(= (2 + ∆x)^3-2(2 + ∆x) + 1- (2^3- 2.2 + 1) )

(= (∆x)^3+ 6(∆x)^2+ 10∆x);

( fracDelta yDelta x = (∆x)^2+ 6∆x + 10);

(mathop limlimits_Delta x ightarrow 0fracDelta yDelta x =mathoplimlimits_Delta x ightarrow 0<(∆x)^2+ 6∆x + 10> = 10).

Vậy (f"(2) = 10).

2. Giải bài 2 trang 163 sgk Đại số và Giải tích 11

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) (y = x^5- 4 x^3+ 2x – 3);

b) (y = frac14 – frac13x + x^2 – 0,5x^4);

c) (y = fracx^42) – ( frac2x^33) + ( frac4x^25 – 1) ;

d) (y = 3x^5(8 – 3x^2)).

Bài giải:

a) (y = x^5- 4 x^3+ 2x – 3)

(Rightarrow y’ = 5x^4- 4.3x^2+ 2=5x^4- 12x^2+ 2)

b) (y = frac14 – frac13x + x^2 – 0,5x^4)

(Rightarrow y’ = – frac13 + 2x – 0,5.4x^3 = – frac13 + 2x – 2x^3)

c) (y = fracx^42- frac2x^33+ frac4x^25 – 1)

(Leftrightarrow y = frac12x^4 – frac23x^3+ frac45x^2 – 1)

(Rightarrow y’ = 4.frac12x^3- 3.frac23x^2+ 2.frac45x)

(Rightarrow y’ = 2x^3- 2x^2+ frac85x)

d) (y = 3x^5(8 – 3x^2)).

(Leftrightarrow y = 24x^5- 9x^7)

(Rightarrow y’ = 5.24x^4-9.7x^6=120x^4- 63x^6).

3. Giải bài bác 3 trang 163 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) (y = (x^7 – 5x^2)^3);

b) (y = (x^2 + 1)(5 – 3x^2));

c) (y = frac2xx^2-1);

d) (y = frac3-5xx^2-x+1);

e) (y = left ( m+fracnx^2 ight )^3) ((m, n) là những hằng số).

Bài giải:

a) (y = (x^7 – 5x^2)^3)

(y’ = 3.(x^7 – 5x^2)^2.(x^7 – 5x^2)’ )

(y’ = 3.(x^7 – 5x^2)^2.(7x^6 – 10x))

(y’ = 3x^5.(x^5 – 5)^2(7x^5 – 10))

b) (y = (x^2 + 1)(5 – 3x^2))

(y’ = 5x^2 – 3x^4 + 5 – 3x^2 )

(y’ = – 3x^4 + 2x^2 + 5)

(y’ = – 12x^3 + 4x = – 4x.(3x^2 – 1)).

c) (y = frac2xx^2-1)

(y’ = fracleft ( 2x ight )’.left ( x^2-1 ight )-2xleft ( x^2-1 ight )’left ( x^2-1 ight )^2)

(y’ = frac2.left ( x^2-1 ight )-2x.2xleft ( x^2-1 ight )^2)

(y’ = frac-2left ( x^2+1 ight )left ( x^2-1 ight )^2)

d) (y = frac3-5xx^2-x+1)

(y’ = fracleft ( 3-5x ight )’left ( x^2-x+1 ight )-left ( 3-5x ight ).left ( x^2-x+1 ight )’left ( x^2-x+1 ight )^2)

(y’ = frac-5left ( x^2-x+1 ight )-left ( 3-5x ight ).left ( 2x-1 ight )left ( x^2-x+1 ight )^2)

(y’ = frac-5x^2+5x-5-6x+3+10x^2-5x( x^2-x+1)^2)

(y’ = frac5x^2-6x-2left ( x^2-x+1 ight )^2).

e) (y = left ( m+fracnx^2 ight )^3) ((m, n) là các hằng số)

(y’ = 3. left ( m+fracnx^2 ight )^2 . left ( m+fracnx^2 ight )’)

(y’ =3. left ( m+fracnx^2 ight )^2 left ( -frac2nx^3 ight ))

(y’ =- frac6nx^3 . left ( m+fracnx^2 ight )^2).

Xem thêm: Toán 10 Bài 1: Bất Đẳng Thức Côsi Lớp 10, Giải Toán 10 Bài 1: Bất Đẳng Thức

4. Giải bài bác 4 trang 163 sgk Đại số và Giải tích 11

Tìm đạo hàm của những hàm số sau:

a) (y = x^2 – xsqrt x + 1);

b) (y = sqrt (2 – 5x – x^2));

c) (y = fracx^3sqrta^2-x^2) ( (a) là hằng số);

d) (y = frac1+xsqrt1-x).

Bài giải:

a) (y = x^2 – xsqrt x + 1)

(y’ = 2x-=2x – left ( sqrtx+x.frac12sqrtx ight )= 2x – frac32sqrtx)

b) (y = sqrt (2 – 5x – x^2))

(y’ =fracleft ( 2-5x-x^2 ight )’2.sqrt2-5x-x^2= frac-5-2x2sqrt2-5x-x^2)

c) (y = fracx^3sqrta^2-x^2) ( (a) là hằng số)

(y’ = frac( x^3)’.sqrta^2-x^2-x^3.left ( sqrta^2-x^2 ight )a^2-x^2)

(y’ = frac3x^2.sqrta^2-x^2-x^3.frac-2x2sqrta^2-x^2a^2-x^2)

(y’ =frac3x^2.sqrta^2-x^2+fracx^4sqrta^2-x^2a^2-x^2)

(y’ = fracx^2left ( 3a^2-2x^2 ight )left ( a^2 -x^2 ight )sqrta^2-x^2)

d) (y = frac1+xsqrt1-x)

(y’ = fracleft ( 1+x ight )’.sqrt1-x-left ( 1+x ight ).left ( sqrt1-x ight )’1-x)

(y’ = fracsqrt1-x-left ( 1+x ight )frac-12sqrt1-x1-x)

(y’ =frac2left ( 1-x ight )+1+x2left ( 1-x ight )sqrt1-x)

(y’ =frac3-x2left ( 1-x ight )sqrt1-x)

5. Giải bài xích 5 trang 163 sgk Đại số và Giải tích 11

Cho (y = x^3-3x^2+ 2). Tìm (x) để:

a) (y’ > 0);

b) (y’ 0 Rightarrow 3x^2- 6x >0 Leftrightarrow 3x(x – 2) > 0)

(Leftrightarrow x-2) cùng dấu cùng với (3x)

Vậy (x>2) hoặc (x

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài xích tập sgk toán lớp 11 với giải bài xích 1 2 3 4 5 trang 162 163 sgk Đại số và Giải tích 11!